Referat Historische Entwicklung der Differential bzw. Integralrechnung

Historische Entwicklung der Differential bzw. Integralrechnung

- Differential und Integralrechnung sind in engster Verbindung entstanden in letzten

Drittel des 17 Jahrhunderts.

-      Im Buch unter dem Kapitel : "Die Mathematik in der Zeit des Rationalismus"

-      Rationalismus  Geisteshaltung die das rationale Denken als einzige Erkenntnisquelle ansieht

Der Anfang:

-      der bergang des Mittelalters zur Neuzeit ist durch eine radikale Neuorientierung des abendländischen

Denkens gekennzeichnet

-      an die Stelle des alten qualitativen , eng begrenzten und ausschließlich religiös bestimmten Weltbildes trat als Folge der gesellschaftl. Entwicklung ( Niedergang von Kaiser und Papsttum , Aufbl hen der Stadtstaaten in Italien mit weitreichendem Handel und einem vielgestaltigen Manufakturwesen) ein neues quantitatives außerordentlich erweitertes Weltbild

es wurde entscheidend von den Humanisten geformt deren Selbstverständnis von dem Vertrauen in die Fähigkeit der menschlichen Natur geprägt war von sich aus und ohne die göttliche Offenbarung , die Welt zu erkennen

-      das autonome Denken wurde zur f hrenden Kraft ; das Erkenntnisinteresse des Menschen richtete sich auf sein gegenüber, die Natur und Naturerkenntnis wurde das Mittel zur Analyse der geistigen Vorgehensweise auf dem Wege zur Erkenntnis : das heißt

Philosophie und Naturwissenschaften verschmelzen miteinander

- für die Geschichte der Mathematik bildet der Zeitraum von etwa 1620 30 - 1730 40 eine deutlich in sich geschlossene Periode

-  die Mathematik vollzog eine so bedeutende und durchgreifende Entwicklung daß in wissenschaftshistorischen Darstellungen gerade zu von einem mathem. Jahrhundert gesp.

-      Viele Mathematiker brachten einen Umschwung der fast revolution r in der Zielstellung wie in den Methoden galt

-      zugleich vollzieht sich ein grundlegender Wandel in den wissenschaftlichen Ideen der so bedeutsam ist daß man heute von einer Revolution der Wissenschaft spricht.

- einerseits greift man auf das Denken der Antike zurück die als geistesverwandt empfunden und als vorbildlich angesehen wird und die es in allen Bereichen wiederzubeleben gilt ( Renaissance); andererseits orientiert sich das auf das diesseitsgerichtete Interesse im Gegensatz zur Antike auch an den praktischen Bedürfnissen des Menschen wie der Herstellung von Geräten und Maschinen aller Art

- Als Konsequenz verbinden sich antikes Wissen und abendländisches Handwerk und aus dieser Verbindung entwickelt sich in Gestalt der theoretischen und zugleich experimentellen Mechanik , Optik , Statik allmählich die mathemtisierende und experimentierende moderne Naturwissenschaft

- 2 Momente der Umgestaltung in der Mathem. treten besonders deutlich hervor und

haben eine noch bis heute weitreichende Bedeutung

-      einerseits die Verschmelzung geometrischer und algebraischer Methoden, wie sie insbesondere mit der Herausarbeitung der Grundvorstellungen der analitischen Geometrie zutage trat

-      andererseits die schrittweise sich vollziehende Entwicklung und Herausbildung der

infinitesimalen Methoden der Differential- und Integralrechnung

- trotz großer gedanklicher Schwierigkeiten bei der Beherrschung des Grenzwertprozesses ließ sich dadurch eine fülle Mathemat. Naturwissenschftl. und prakt. Probleme rechnerisch lösen

Frage nach den Ursachen dieser durchgreifenden Anderung des Gesamtcharakters der Mathematik :

- 6 0 7 0 Entfaltung des gesellschaftlichen Lebens neu in Europa mit dem Frühkapital. Verbundene

Tendenzen und Auffassungen

- ebenfalls rascher Aufschwung der Naturwissenschaften da großes gesellschaftliches Interesse da war woraus dann f r die Entwickelung der Naturwissenschaften sich eine gro e Zeit ergab ( Fernrohr und Mikroskop ) BiologieAstronomie

zum Zeitraum 6 0 - 7 0 zurück :

-      tastend anfangs und in einem mühsammen und zugleich widersprüchlichen Prozeß bildetenen sich die Grundzüge einer Mathematik der Variablen heraus und wurden die entsprechenden mathematischen Kalküle entwickelt

-      hing diese neu zu entwickelnde Art mathematischen Denkens zu Anfang jener Periode von 6 0 - 7 0 noch hinter den vielfältigen an sie gestellte Forderungen zur ckso hatte sie zu Beginn des 1 . Jahrhunderts ihrerseits einen solchen Reifegrad erlangt , daß eine neue und abermals ganz unerhörte Ausdehnung der Leistungsfähigkeit mathematischer

Methoden zutage trat

-      viele andere Mathematiker aber , haben Anteil an der Herausbildung der Mathematik in dem Zeitraum von 1 2 7 0 aber die beiden herausragendsten waren

- Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz

-      sie waren es die die Differential bzw. Integralrechnung unabhänging von einander erfanden wie ich gleich das in der Biografie zeigen werde

-      als erster entwickelte sie Sir Isaac Newton 6 darum werde ich mit ihm anfangen

Isaac Newton (1 43 - 1 2 ):

- ein berühmter Mathematiker schrieb über Newton , den Entdecker des Gravitations- gesetzes und den Begründer der klassischen Mechanik und Himmelsmechanik :

" Er ist der Glücklichste , das System der Welt kann man nur einmal entdecken"

- ( Begrenzung auf seine mathematischen Leistungen )

-      Zeitliche Eingrenzung zeigt das Newton in den Jahren 1 6 - 7 sehr produktive Phase

Newton hat sein akademisches Lehramt bis 7 1 ausgeübt

-      da verherrende Pestzüge durch London Newton zog aufs Land

-      in diesen Zeiten hauptsächliche Entdeckungen in Mathe Optik Astronomie

-      sein eigentlicher Lehrer der ihm den Weg zur Mathematik wies war I. Barrow , ebenfalls ein bedeutener Mathematiker

-      sein Lehrer gab ihm dem Zusammenhang des Tangentproblems mit Flächeninhaltsbestimmung Inhalt des Fundamentalsatzes der Diff. u Integ.

-      Newton schloss sich Barrow an ; wie er bezeichnete er Gschwindigkeiten. , das heißt Differen. nach der

Zeit , durch einen darübergesetzten Punkt

- Er hatte weitere Anregungen durch Lektüre von mathem. Arbeiten ander Landsleute zu der

Reihenentwickelung der Logarithmusfkt.

- Newton stellte eigene Studien mit dem Thema Reihenlehre zusammen

-      handelt aber insgesamt "De Analysi" um eine bereits entwickelten Theorie

- 6 1 bereits weiteres Buch druckfertig : es enthielt seine Infinitesimalrechnung zusammen mit einer verbesserten Darstellung der unendlichen Reihen

-      Title : " Methodus fluxionum et serium infinitarum" ( Methode d.fließenden Gr ßen und der unendlichen Reihen )

- Hier kein Druck da großer Brand in London fast die ganze Stadt 1 66 alle Druckereihen zerstört

- Erst 1 36 erschien " Fluxionenrechnung "  nach seinem Tode  Inhalt überholt

-      Newton ging vom physikalischen aus (mechanische Grundvorstellungen) welches er später in der " Principia" zugrundegelegt

- Zitat(Prinzipia : " Es gibt eine objektiv existierende , unabhängig von allen Geschehnissen verlaufende

Zeit. Alle Körper bewegen sich in einem objektiv existierenden Raum , der unabhängig is von allen darin befindlichen Körpern.Alle veränderlichen Größen sind physikalische Größen, die von der objektiv ablaufenden Zeit abhängen.

- diese gr ßen die Variablen also , nennt er " Fluenten " das heißt soviel wie Fließende

- Ihre Geschwindikeit , das heißt ihre Ableitungen , nannte er Fluxionen

Newton definiert Folgendermaßen : " Die Grö en , die ich als allmählich und unbeschränkt zunehmende ansehe, werde ich von nun an FLUENTEN oder FLOWING QUANTITIES nennen und werde sie durch

die letzten Buchstaben des Alphabets bezeichnen , durch v, x, y, z, damit ich sie unterscheiden kann von anderen Größen , die in Gleichungen als bekannt und bestimmt betrachtet werden können , und welche darum durch die Anfangsbuchstaben a , b , c . bezeichnet werden . Und die Geschwindigkeiten die jede Fluentedurch die erzeugende Geschwindigkeit erh lt - die ich als Fluxion oder einfach als Geschwindigkeiten bezeichnen möchte - werde ich durch dieselben Buchstaben , aber mit Punkrt versehen , bezeichnen , also v , x , ý z

Der dritte wichtige Begriff der Newtonschen Fluxionenrechnung ist das Moment einer Gr ße Newton def. Es als einen " geraden noch wahrnehmbaren Zuwachs einer Größe"

und bezeichnet es mit " o "

-      demnach ist o das Moment der Zeit , xo das Moment der Fluente und ´xo das Moment der Fluxion , das etwa dem dem heutigen Differnetial entspricht

-      dieser begriff Moment ist einigermaßen unklar es fehlt eine klare begriffliche Fixierung des Grenzübergangs , zu der Newton noch nicht vorstoßen konnte

-      dagegen hat NWT. In voller Tragweite den Zweck seiner Fluxionenrechnung im mathemath-physikalischen

Zusammenhang erfaßt und gehandhabt

-      die tiefe Einsicht Newtons ist am leichtesten durch einen Blick auf den Inhalt des Buches " Method of

Fluxions" zu demonstrieren :

1.    Die Beziehung zwischen den Fluenten untereinander ist gegeben . Zu bestimmen ist die Beziehung zwischen ihren Fluxionen. Dies ist also das das Problem der Differnetation . BSP. Aus " Method of Fluxions" : Differentation von 0 = x ³ -ax ² +axy -y ³ ;

X und y hat man sich als abhängige Variable zu denken , unabhängige Variable ist die

Zeit . Man liest bei Newton : " Sei nun irgend eine Gleichung x³ -ax²+axy -y³ = 0 gegeben und ersetze x+ x o f r x und y + o für y , dann ergibt sich

x³+3xo²+3x oox+x³o³-ax -2axox ax²oo+axy+axoy+ayox+axyoo-y³-3yoy²-3y²ooy-y³o³

Nun ist nach Voraussetzung : x³-ax +axy-y³=0

Welche demnach gestrichen werden . Die verbleibenden Terme werden durch o dividiert. Es bleiben       3xx +3x²ox+x³oo axx ax²o+axy+ayx+axyo-3yy²-3y²oy-y³oo=0

Aber da vorausgesetzt war , daß o unendlich klein ist , daß die Momente der Größen repräsentieren werden die Terme , die mit o multipliziert sind , nichts sein in Anbetracht des Restes . Deswegen verschmähe ich sie und es bleibt             3xx -2axx+axy-3yy²=0

(Thema in "Method

- hier das Problem der Integration -- mehr als nur die Bestimmung von Stammfunktionen

- hierin sind auch die Integrationen von Differentialgleichungen eingeschlossen

(Thema)

- hier systematisiert Newton die Behandlungsweise der verschiedenen Probleme:

-      Berechnung von Maxima und Minima , Tangenten an Kurven , Krümmungsmaß von Kurven , Art der

Krümmung , Quadratur von Kuven .

Newton ist in seinem B s p . von der Physik ausgegangen und wählte dort nicht gerade das idealste Beispiel ein anderes :     f(x) = x ²

Newtonsche Methode mit dem Versuch seinem Text wörtlich zu folgen :

" Die Größe x möge gleichförmig fließen , und es sei die Fluxion ( Ableitung ) von x ²

zu finden . In der Zeit , in der x beim Fließen zu x + h wird , wird x ² zu ( x + h ) ² , d.h. zu x ² + 2xh + h ² . Die Zuwächse h und x + h² verhalten sich zueinander wie 1 zu x h . Nun möge jene Zuwächse verschwinden . Dann wird ihr letztes Verhältnis 1 zu x sein "

In den Prinzipia gibt Newton hierfür u.a. die folgende Begründung.

" Jene letzten Verhältnisse , mit denen Größen verschwinden , sind in Wirklichkeit nicht die Verhältnisse der letzten Größen , sondern die Grenzen , denen sich die Verhältinsse fortwährend abnehmender Größen beständig nähern ,und denen sie näher kommen ,als jeder angebbare Unterschied beträgt , welche sie jedoch niemals überschreiten und nicht früher erreichen können , als bis die Größen ins Unendliche verkleinert sind

-  Grenzbegriff kündigt sich an ist jedoch eine Errungenschaft des 19 Jhr.

- Zur Prinzipia , was war das eigentlich : " Philosophiae naturalis principia

Mathematica"( Mathem. Prinz. d.Naturphl.)

- die hohe bedeutung dieses Werkes kann bis zu einem gewissen Grad aus der Tatsache ersehen werden , daß es seit seinem ersten Erscheinen 1 87 rund hundert Neuauflagen erlebt hat

-      in der Welt der naturwissenschaftlichen Literatur eine absolute Spitzenstellung

-      das erscheinen der PRINCIPIA festigte Newtons ruf als Mathematiker und wandelte die mathematische

Physik

- gliedert sich in drei Bücher : - 1+ . Behandelt verschiedene hypothetische Kräfte u.

Bewegungen

. die allgm. Theorie der vorhergehenden Bücher auf spezielle Fälle der Planetenbewegung + irdische Körper

-      in späteren Jahren festigte sich die Meinung das die Ergebnisse der Principia mit Hilfe der Differential- und

Integralrechnung erhalten habe , sie für die Veröffentlichung aber in die traditionelle Form umgeschrieben

-      Bsp . für seine gewaltige Leistung : die Berechnung der Gezeiten zu der Zeit

Zur ck zu Newtons Fluxionenrechnung : - mit der Reihenlehre und der Fluxionenrechn. allein reiht sich Newton unter die Mathema.

Ersten Ranges ein

-      die mathematischen Leistungen erschöpfen hier jedoch nicht(Erfolgreicher  Algebraiker)

-      soll aber reichen  da Differentialrechnung Thema

-      während Newton von der Physik ausgeht , stehen bei Leibniz geometrische Fragestellungen im

Vordergrund

_{Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 bis 17 6 )}

- (Lebensdaten Polylux)

-      aufgrund seiner Vielseitigkeit hat man Leibniz ein Universalgenie genannt

-      Z. Bsp. Mit Acht Jahren bereits perfekt Lateinisch könnend Eltern starben früh Bilio.E.

-      er war Jurist Diplomat Historiker Theologe Sprachwissenschaftler Geologe Biologe Physiker

und hat auf allen gebieten bedeutenes geleiste

- vor allem aber Philosoph und Mathematiker und anders als Newton auch ein geistvoller Mann von Welt

dem es gefiel , an europäischen Fürstenhöfen zu brillieren

Leibniz war von seinen jüngsten Jahren an erste philosop. Schrift mit 1 unermüdlich und bis heute ist noch längst nicht alles erschlossen , was sich in seinen riesigen schrftl. Nachlaß findet

als umfassender Denker tiefe Spuren in der kulturellen und wissenschaftlichen Entwicklung hinterlassen hat , fand er zu seinen Lebzeiten nicht die Anerkennung die ihm gebührt hätte

von 6 6 - zu seinem Tode versah er beim Kurf rsten von Hannover und späteren König von England das

Amt des Rechtsberaters und Bibliothekars und starb 1 16 völlig vereinsamt , ohne Familie und Freunde

"wie einen Straßenräuber fast" so schrieb ein Zeitgenosse " wurde der bedeutendste Gelehrteseiner Zeit begraben

Seine Mathematischen Erfolge:

- in den Jahren 6 2 73 begann er mit den Studium über Summen unendlicher Reihen

- 6 3 Aufenthalt in London Leibniz stellte seine Rechenmachine der Royal Society vor

-      im Oktober 5 in Paris dann erfindet Leibniz seine spezifische Infinitesimalrechnung , eine geniale Art der algebraischen Symbolik

-      erstmalig veröffentlichte Leibniz , in der monatlichen Zeitschrift " Acta eruditorium" (Berichte der

Gelehrten) , 6 2 die Reihe für  / 4 und das nach ihn benannte Konvergenzkriterium

8 enthalten die Zeitschriften die erste Abhandelung zur Differentialrechnung unter dem deutschen Namen:" Eine neue Methode f r Maxima und Minima sowie Tangenten, die durch gebrochene und irrationale Werte nicht beeinträchtigt wird , und eine beispielose Art der Rechnung dafür " -- Regeln treten erstmalig auf zum Differentieren

-      für Summe ,Differenz ,Produkt , Quotient , Kettenregel , zweite Ableitung

-      Leibniz verwandte erst 6 2 das Wort Funktion

-      Über die tragweite seiner Methode sagt Leibniz :

" Kennt man.... den obigen Algorithmus dieses Kalküls , den ich Differentialrechnung nenne, so lassen sich alle anderen Differentialgleichungen durch ein gemeinsames Rechnungsverfahren finden , es lassen sich die Maxima un Minima sowie die Tangenten erhalten..."

-      Erstmalig Differentialrechnung verwendtet

-      Zwei Jahre später Grundregel der Integralrechnung  Integralzeichen erstmalig im Druck (Leibnizsche

Integralzeichen  Bezeichnung " Calulus integralis

- ( Dt. ich erneuere den durch Differenziern geänderten Zustand - wieder her)

Speziell seine Entwickelung der Differentialrechnung :

- Ausgangspunkt ist bei ihm das sog. Charakteristische Dreieck , das er von früheren

Mathematikern übernimmt

-      die seiten nennt er Differnetiale sollen infinitesimal sein

-      dabei darf ds je nach zusammenhang als Bogen , Tangenten - oder Sehnestück interpretiert werden

- nach Leibniz ist nun die Steigung der Tangente der Quotient der Differentiale dy und dx, der sog.

Differentialquotient  , und dy berechnet er durch

( x+dx ) ² x ² = 2 x dx +( dx ) ²

-      wobei er ( dx ) ² fortläßt , weil es " im Vergleich zu den übrigen Größen unendlich viel kleiner ist "

-      damit wird dy = x dx und dy/dx = 2x

-      er führt also Größenordnungen des Verschwindens zur Begründung an , und denselben Gedanken benutzt er um die Rechenregeln (Ableitungsregeln ) seines " Calculus differentialis" aufzustellen

Sein Vorgehen rechtfertigt er ( Zitat) :

"..Will nämlich ein Gegner unseren Sätzen die Richtigkeit absprechen , so zeigt unser Kalkül , daß ein Irrtum geringer ist als irgendeine angebbare Größe, da es in unserer Macht steht , das Unvergleichbarkleine - das man ja immer so klein , als man nur will, annehmen kann - zu diesem Zwecke hinlänglich zu verringern. Dies dürfte es wohl sein , was Sie mit dem Unerschöpflichen meinen,

und zweifellos liegt darin der strenge Beweis unserer Infinitesimalrechnung. Ihr Vorzug liegt darin , daß sie unmittelbar und augenscheinlich und in einer Art , die den eigentlichen Quell der Entdeckung freilegt, dasjenige gibt , was die

Alten so z.B. ARCHIMEDES, auf Umwegen vermittels des indirekten Beweises erreichten. Sie konnten

indes  mangels eines solchen Kalküls in verwickelten Fällen nicht zur richtigen Lösung gelangen...' ( Zitat ende);

-      seit seiner Studienzeit hatte LEIBNIZ die Idee einer allgemeinen Begriffsschrift

- vorgeschwebt

-      mit ihrer Hilfe sollte es durch eine Art Rechnen möglich sein , aus allen denk möglichen

-             Aussagen die richtigen herauszufinden

-      dies war , wie das Zitat Erkennen läßt , auch der Leitgedanke , an dem sich Leibniz bei

der Entwicklung seiner Infinitesimalrechnung orientiert hat

-      als Calculus ging sie in die Geschichte ein ; calculer heißt auf französisch rechnen ,

und calculi sind die Rechensteine des antiken Rechenbrettes , des Abakus

-      es besteht kein Zweifel, daß die Leibnizsche Symbolisierung entscheidend zum schnellen

Erfolg der Infinitesimalrechnung beigetragen hat , da sie den Problemen weitaus

besser angepaßt war als Newtons Punktschreibweise , die sich nur in der Physik

gehalten hat

- - wir benutzen auch heute noch seine Bezeichnungen, sagen differenzierbar statt ableitbar

und sprechen auch vom Differentialquotient , obwohl die Ableitung nach unserem

-                 Verst ndnis keinen Quotienten darstellt und dx/dy deshalb dy nach dx gelesen wird

-      das Wort Analysis bürgerte sich erst später im . Jahrhundert ein

-       bezeichnete ursprünglich die Analyse der unendlich kleinen Gr ßen und umfaßt heute alle Disziplinen, die aus der ursprünglichen Infinitesimalrechnung

hervorgegangen sind.

- Nach diesem kleinem Einblick fragt wie das Verhältnis der beiden Entdecker gegen war ?

als Newton auf dem Höhepunkt seiner Produktivität war begann Leibniz in Paris seine intensive mathematischen Studien

am 24 Oktober 1 76 informierte Newton Leibniz über seine FLUXIONENRECHNUNG

^{-         nicht über Methode nur Ergebnisse zu seinen Methode Anagramm(Buchstabenrätsel)}

^{-         Leibniz kam nicht drauf LSG: Bei gegebener Gleichung zwischen beliebig vielen fließenden Größen deren}

Fluxionen zu finden und umgekehrt

-      Es entstand jedenfalls ein sehr unglücklicher Streit zwischen den beiden

-      War so eine Art Wettbewerb endete nicht mal nach einem Richterspruch an Englischen Hofe

^{-         Heute steh fest das beide unabhängig voneinander zu eigenen Formen der Differential -}

-      bzw. Integralrechnung gekommen sind , Calculus bzw. Fluxionsrechnung

- Newton hatte das tiefere Verst ndnis Physik Mathematik

-      Leibniz sah halt den Zusammenhang zwischen Mathematik bzw. Logik und Erkenntnistheorie

- Spätere Entwicklung der Infinitesimalrechnung :

- schon bei Entstehung wegen unsicheren Grundlagen kritisiert

-      Philosoph ( Bischof ) und Kritiker GERORGE BERKELEY

- 7 4 Schrift veröffentlicht : " The Analyst " und der Bezeichnung :

-      "Der Analytiker oder eine Erörterung , gerichtet an einen ungläubigen Mathematiker , worin untersucht wird , ob der Gegenstand , die Prinzipen und die Schulßweisen der modernen Analysis deutlich begriffen oder einleuchtender hergeleitet sind als die religiösen Geheimnisse und Glaubenpunkte

-      obwohl sich Berkeley die unsicheren Grundlagen der Analysis zunutze machen will , um einen ungläubigen

Mathematiker ( wahrscheinlich Edmund Halley , Freidenker ) zum Glauben zu bekehren

-      ist seine Analyse des Newtonsche Vorgehen sehr gut und geistreich

Newtonsche Methode zur Ableitung von x hoch n x^n bis zu der Stelle geschildert wo Newton zu den letzten Verhältnissen übergeht , fährt er folgendermaßen fort :

- (Zitat) :

" Bisher habe ich vorausgesetzt , daß x flie e , daß x einen wirklichen Zuwachs hat , daß h etwas ist . Und ich bin durchweg von dieser Voraussetzung ausgegangen , ohne die ich nicht imstande gewesen wäre einen einzigen Schritt zu tun . Von dieser Voraussetzung komme ich zu dem Zuwachs von x ² , so daß ihn mit dem Zuwachs von x vergleichen und so das Verhältnis der beiden Zuwächse finden kann . Ich bitte dann um die Erlaubnis eine Voraussetzung machen zu dürfen , die der ersten entgegengesetzt ist ; d. h. ich will jetzt voraussetzen , daß es keinen Zuwachs von x gibt oder daß h nichts ist , welche zweite Voraussetzung meine erste Zerstört und mit ihr unverträglich ist und deshalb mit allem , was sie voraussetzt . Ich bitte nichtdestoweniger   um Erlaubnis , 2 x zurückzubehalten , welches ein Ausdruck ist der vermöge meiner

ersten Voraussetzung erhalten wurde , ja welcher notwendig eine solche Voraussetzung voraussetzt und nicht ohne sie erhalten werden könnte.

- ( soweit Newton)

All das scheint eine sehr widerspruchsvolle Art von Argumentation zu sein , welche in der Theologie nicht erlaubt wäre . "

" . Und was sind Fluxionen ? Die Geschwindigkeiten von verschwindenen Zuwächsen . Und was sind diese verschwindenen Zuwächse ? Sie sind weder endliche Größen noch auch unendlich kleine Größen noch auch nichts. Dürfen wir sie nicht die Geister abgeschiedener Größen nennen ? ? "

im laufe des 18 Jahrhunderts intensivierten die Mathematiker ihre Bemühungen die die " Geister abgeschiedener Gr ßen " zu bannen

- nötig da als Folge der in weiteren Entwicklung der Infinitesimalrechnung Widersprüche auftraten

-      da die Analysis in immer grö erem Ausmaß an den Universitäten gelehrt wurde  Grundlagen neu überdenken

-      um sie zu begründen reichte den Grenzwertbegriff zu präzisieren

-      bedeutender Mathematiker Augustin Louis Cauchy ( 7 9 - 8 7 ) der mit seinem Lehrbuch der Analysis aus dem Jahre 8 1 einen Durchbruch erzielte

- ( bekannt aus . Stunde Mathe )

- gegen ende des 9 Jahrhunderts alle Fragen weitgehend geklärt

in diesem Jahrhundert zeigte sich das die Leibnizsche Idee eines Infinitesimalkalküls sich verwirklichen läßt

-      mit der mathematischen Logik ist es gelungen eine Modelltheorie zu entwerfen womit die

NONSTANDARD -ANALYSIS zu begründen

-      in der man wie Leibniz das vorschwebte mit unendlich kleinen und unendlich großen Zahlen rechnen kann

-      neue Methode nicht Gebiet    daher der Grenzwert noch lange zentrale Begriff der Analysis

-      Zitat: "Wenn ich etwas weitersah als andere , so deshalb ,weil ich auf den Schultern von

Riesen stand ( Newton)

- Meine Quellen : - Analysis Lehr und Arbeitsbuch, Band I; Verlag : Dümmler ; S 76 79

- " Biographien bedeutender Mathematiker " Verlag : Volk und Wissen

- " Newtons Werk " von Birkh user ab Kapitel 3