Referat Der Wechselstrom - Der Ohmsche Widerstand im Wechselstromkreis

Der Wechselstrom:

Bringt man eine Spule in einen Gleichstromkreis, so beginnt der Strom beim Einschalten nur allmählich zu fließen, weil die in der Spule induzierte Spannung der angelegten Spannung entgegenwirkt. Ist das Magnetfeld aufgebaut, wird der Strom nur noch durch den Ohmschen Widerstand des Drahtes beeinflußt.

Bei einem Wechselstrom muß das Magnetfeld immer wieder auf- und abgebaut werden. Daher ist klar, daß der Wechselstromwiderstand einer Spule höher ist als ihr Gleichstromwiderstand. Ahnlich liegt die Sache bei Kondensatoren.

Der Ohmsche Widerstand im Wechselstromkreis:

Der Wechselstrom ist an die Spannung U(t) = U_{s (= Spitzenwert)} sin t

angelegt. Enthält der Stromkreis nur einen Ohmschen Widerstand so fließt darin der Strom:

[ausgehend von I=U/R]

I(t) = U(t)/R in diesem Fall: I(t) = (U_s/R) sin t T

I(t) = I_s sin t

Die im Widerstand als Wärme verlorene Leistung ist daher:

P(t) = I(t) * U(t) T [U = R * I] [I = I_s sin t]

P(t) = RI_s² sin² t

Die Leistung schwankt bei einem Wechselstrom klarerweise periodisch. Daher nimmt man den Mittelwert.

Ebenfalls aus der Abbildung erkennt man, daß der Mittelwert von sin² t = ½ ist.

Die Mittlere Leistung beträgt daher:

P= ½ I_s²R

P=(1/sqr2 I_s)² R [U=I*R]

P=(1/sqr2 I_s) (1/sqr2 U_s)

Diese Leistung entspricht einem Gleichstrom mit

effektiver Stromstärke I_eff = 1/sqr2 I_s und

effektiver Spannung Ueff = 1/sqr2 U_s.

Die Angaben von Stromstärke und Spannung beziehen sich bei Wechselströmen, wegen der größeren Aussagekraft, immer auf die Effektivwerte. Unter dem Effektivwert versteht man die Stromstärke oder Spannung, die ein Gleichstrom mit derselben Leistung aufweist.

Die Spule im Wechselstromkreis:

Das Magnetfeld einer Spule im Wechselstromkreis muß, wie bereits anfangs erwähnt, immer wieder auf und abgebaut werden. Dadurch wird eine Spannung U_ind = -L(d I/dt) induziert, die nach der Lenzschen Regel der angelegten Spannung entgegenwirkt, d.h. sie wirkt wie ein zusätzlicher Widerstand.

U = U_s sin t = -U_ind + IR = L(d I/dt) + IR

Wir vernachlässigen R, d.h. R=0.

T U_s sin t = L(d I/dt)

Nun integriert man.

Integral d I/dt = U_s/L Integral sin t =

I(t) = U_s/(kommt durchs integrieren)L * (-cos t)

T -I_s cos t = I_s sin (t - /2) (-/2 weil cos und sin nur um selbiges verschoben sind)

Wie man anhand der Abbildung gut erkennt folgt der Strom der Spannung um eine Viertelperiode nach. Höhere Induktivität der Spule und höhere Frequenz des Wechselstromes erhöhen den Widerstand der Spule. (Da sich bei höherer Frequenz das Magnetfeld öfter aufbauen muß)

Dieser Widerstand verschwindet für Gleichstrom nach kurzer Zeit.

Der Kondensator im Wechselstromkreis:

Der Kondensator wird durch Gleichstrom bis zum Maximum aufgeladen. Schaltet man ihn hingegen in einen Wechselstrom wird er immer aufgeladen, entladen und umgekehrt aufgeladen.

Die am Kondensator liegende Spannung Q(Ladung)/C(Kapazität) muß gleich der äußeren Spannung U sein. Stärker kann der Kondensator nicht aufgeladen werden.

Q/C = U_s sin t oder Q = CU_s sin t

I(t) = dQ/dt =

T CU_s cos t ( und cos kommen vom differenzieren)

T I_s cos t

= I_s sin(t + /2) [pi/2 weil um Viertel voranlaufend]

Der Strom ist proportional zur Kapazität und eilt der Spannung um eine Viertelphase voraus. (Abb.)

(Formel gelbes Kästchen)

Der kapazitive Widerstand eines Kondensators sinkt mit zunehmender Frequenz, daher ist er für Gleichstrom unendlich groß.

Zusammenfassung:

Legt man eine Spannung an einen Stromkreis, der einen Ohmschen Widerstand, eine Induktivität oder Kapazität enthält, so ist der Strom:

I = U_s/R sin(t - ) =

= I_s sin(t - )

wobei R_ der Wechselstromwiderstand und  die Phasenverschiebung darstellt.

Ohmscher Widerstand              R = R  = 0

Induktivität der Spule R = L  = + pi/2

Kapazität des Kondensators     R= 1/(C)  = - pi/2

In der Praxis treten meist alle Widerstände gemeinsam auf:

(Zeichnung aus meinem Buch)

R= sqr(R² +(L - 1/C)²)     

T tan  = (L - 1/C)/R

Die Leistung des Wechselstromes:

Die Momentanleistung ist allgemein P(t) =I(t) * U(t)

T P(t) = (I_s sin(t - )) * (U_s sin t) = I_sU_s sin(t - ) sin t

abgeleitet und umgeformt: ½ I_sU_s (cos  - cos(2t -))

Weil der Mittelwert von P = cos(2t -) = 0 ist, gilt: P=(I_sU_s)/2 cos = I_effU_eff cos.

P bezeichnet man als Wirkleistung, cos als Leistungsfaktor, welcher nahe eins liegen sollte. Ansonsten geht zu viel Leistung verloren.