Laufzeitverzerrung

Laufzeit und Gruppenlaufzeit

Phasenkonstante und Phasenmaß

Die Angaben für die Phasenkonstante, das Phasenmaß oder die Phasenlaufzeit gelten immer nur für eine Frequenz. Im folgenden wird vorausgesetzt, daß die Leitung über ihre ganze Länge gleichmäßig aufgebaut ist und der Übertragungsweg keine Dämpfung aufweist.

Im Bild ist eine Spannungswelle dargestellt, die sich vonm Leitungsanfang zum Leitungsende fortbewegt. Die Umlaufgeschwindigkeit des Vektors ist gleich der Frequenz f der Welle.

Betrachtet man die obere Kurve, so hat die Spannung am Leitungsanfang den Momentanwert u₁. Im Ort A, der z.B. 1 km weit entfernt sein soll, hat die Spannung im gleichen Augenblicjk den Momentanwert u₂. Man erkennt, daß die Spannung am Ort A der Spannung am Leitungsanfang nacheilt. Der Winkel b zeischen den beiden Vektoren bezeichnet man als Phasenkonstante der Leitung. Wenn der Ort vom z.B. 2 km vom Leitungsanfang entfernt sein soll, so ist bei einer homogenen Leitung der Winkel 2 b T bei l Kilometer beträgt er l b. Diesen Winkel bezeichnet man als Phasenmaß b der Leitung T b = l b. Ist die Leitungslänge s gleich der Wellenlänge l des Signals so beträgt b = l b. Am Ort B der Leitung würde bei einer homogenen Leitung der gleiche Momentanwert der Spannung herrschen wie am Ort A. Bei der vektoriellen Darstellung würde dies bedeuten, daß der Vektor eine ganze Umdrehung gemacht hat. Das Phasenmaß b hat also bei einer Leitungslänge l die Größe 2p. Somit gilt :

b = 2 p = l b oder b =

Diese Betrachtungen werden immer auf den Leitungsanfang bezogen. (Bei dem Wert für b ist es egal wo der Bezugspunkt ist, die beiden Orte müssen nur 1 km auseinander liegen.)

Phasengeschwindigkeit und Phasenlaufzeit

Die Wellenfront bewegt sich vom Zeitpunkt t aus in einer Zeit Dt in Richtung Leitungsende. Daraus ergibt sich die Fortpflanzungsgeschwindigkeit mit s/Dt. Wenn der Weg s gleich der Wellenlänge l des Signals ist wird die Zeit T von einer Periode benötigt. Daraus ergibt sich die Phasengeschwindigkeit V_ph mit :

V_ph = .

Setzt man in diese Gleichung für l den Ausdruck und ersetzt man durch f so erhält man :

V_ph = .

Der Kehrwert dieses Ausdrucks wird als Phasenlaufzeit t_ph bezeichnet.

t_ph =

Da sich die Größe b mit der Frequenz ändert, ändern sich ebenso die Phasengeschwindigkeit und die Phasenlaufzeit mit der Frequenz. Man spricht in diesem Fall von Phasenverzerrungen bzw. Laufzeitverzerrungen.

Gruppenlaufzeit

Im üblichen wird bei der Nachrichtenübertragung die Frequenz f oder die Amplitude U entsprechend der zu übertragenden Nachricht verändert. Ideal wäre der Zustand, wenn die Phasenlaufzeit t_ph bzw. die Phasenkonstante b aller Einzelfrequenzen, die für die Nachrichtenübertragung verwendet werden, sich linear mit der Frequenz ändern würden. Da dies aber bei einer realen Leitung nicht der Fall ist, interessiert es also, wie sich die Phasenkonstante b mit der Frequenz ändert.

Differentielles Leitungsstück

Zu diesem Zweck stellt man für alle Frequenzen jeweils die Phasenkonstanten b fest und trägt diese als Kurve über der Frequenz f auf. Man ermittelt für zwei Frequenzen die zugehörigen Phasenkonstanten bestimmt dann die Differenzen und erhält dadurch :

Die unmittelbar benachbarten Frequenzen bezeichnet man als Gruppe T Gruppenlaufzeit.

Macht man den Abstand zwischen w und w unendlich klein und führt die Operation im ganzen erwünschten Frequenzbereich durch, so erhält man die Gruppenlaufzeitkurve für einen Weg Kilometer Länge. Für die Gruppenlaufzeit läßt sich dann schreiben :

t_g = .

Gruppenlaufzeitverzerrungen

Die Gruppenlaufzeitverzerrung sagt aus, daß nicht alle Frequenzen eines bei der Nachrichtenübertragung vorhanden Frequenzbandes gleich schnell vom Sender zum Empfangsort gelangen. Aus dem im Bild dargestelltem Diagramm wird ersichtlich, daß sich höhere Frequenzen langsamer ausbreiten als niedrige Frequenzen.

Bei Modulation entstehen am Sendeort zusätzliche sinusförmige Spannungswellen unterschiedlicher Frequenz und Amplitude. Am Empfänger müssen alle diese Frequenzen zum gleichen Zeitpunkt den Demodulator passieren, um die richtige Wiederherstellung der Information zu gewährleisten. Überschreitet die Gruppenlaufzeitverzerrung ein bestimmtes Maß, dann ist die rekonstruierte Nachricht so stark verformt, daß sie vollkommen von der gesendeten Nachricht abweicht. Im nachstehenden Bild ist ein Gruppenlaufzeitverlauf angenommen. Man erkennt, daß die Gruppenlaufzeitverzerrung die bei der Frequenz f_B auftretende maximale Gruppenlaufzeit minus der Minimalen Gruppenlaufzeit ist.

Eine unverzerrte Übertragung eines modulierten Datensignals ist gewährleistet, wenn :

Dämpfungsmaß a und Gruppenlaufzeit t_g innerhalb des Übertragungsbereichs (f_U bis f_o) frequenzunabhängig, also konstant verlaufen (Bild auf der nächsten Seite)

Dämpfungsmaß und Gruppenlaufzeit zeitlich konstant und von der Signalamplitude unabhängig sind

Von außen und im System einwirkende Störungen das Leitungssignal nicht beeinflussen.

Beispiel für die unverzerrte Übertragung eines modulierten Datensignals

Messung der Gruppenlaufzeit

Eine Bestimmungsart für die Gruppenlaufzeit ist das Nyquistverfahren.

Als Meßsignal dient ein mit einer relativ niedrigen Spaltfrequenz w_S amplitudenmodulierter Träger mit der Frequenz w_T. Dabei wird die Phasenverschiebung Db gemessen, die die Hüllkurve beim Durchlaufen des Vierpols erfährt. Nach dem untenstehenden Bild ist Db gleich der Phasenänderung im Bereich von w_T bis (w_T + w_S), bzw. von w_T bis (w_T - w_S), wenn in dem kleinen Frequenzspalt von 2 w_S die Phasenkurve b (w) als annähernd linear angenommen werden kann.

In diesem Falle ist die Gruppenlaufzeit dann :

t_g =

Durch verändern der Trägerfrequenz läßt sich dann die Gruppenlaufzeit über der Frequenz aufnehmen.

Die unten dargestellte Meßanordnung besteht aus einem mit der Spaltfrequenz modulierten Sender, zwei Hüllkurvendemodulatoren, die Eingangs - und Ausgangssignal demodulieren und einem Phasenmesser, der die Hüllkurvenverschiebung Db mißt und als Gruppenlaufzeit t_g anzeigt.

Messung der Gruppenlaufzeitverzerrung

Meist ist man aber an der Laufzeitverzerrung Dt_g als Differenz der Laufzeit bei der Frequenz w und einer Vergleichsfrequenz w_V innerhalb der Übertragungsbandbreite interessiert.

Die variable Meßfrequenz w_M und die feste Vergleichsfrequenz w_V werden beide mit der Spaltfrequenz w_S von ca. 40 Hz amplitudenmoduliert und abwechselnd mit einer Schaltfrequenz von 4 Hz gesendet.

Auf der Empfangsseite ergibt sich zum Zeitpunkt der Umtastung ein Phasensprung in der Hüllkurve, der ein Maß für den Unterschied der Gruppenlaufzeit bei der Meß- und der Vergleichsfrequenz ist. Dieser Phasensprung wird mit einem Phasenmesser ausgewertet und als t_g angezeigt. Im Empfängerteil muß das Referenzsignal w_S vorhanden sein, dessen Phasenlage mit Hilfe einer Phasenregelschleife auf die Phase der Hüllkurve während der Aussendung der Vergleichsfrequenz w_V eingestellt wird.

Weist die Übertragungsstrecke neben einer Gruppenlaufzeitverzerrung auch eine Dämpfungsverzerrung auf, so tritt zum Umtastungszeitpunkt neben dem Phasensprung auch ein Pegelsprung auf, der als Dämpfungsverzerrung auswertbar ist.

Dt_g (w) = t_g (w_M) - t_g (w_V