Referat Kondensator im Wechselstromkreis - Resonanz

Kondensator im Wechselstromkreis

Stromstärke im C-Kreis

Gesamtspannung : U(t) = U ₁ (t) + U _C (t) = I(t)*R ; mit R = 0 Ω & U _C (t) = -Q(t)/C :

Q(t)/C = U ₁ (t) : I(t) = (t) = C*U^.₁ (t) ; mit U ₁ (t) = Û sin(wt) :

I(t) = C*Û *w* cos(wt) . Def.: Kapazitive Widerstand X _C = Û/ i

= Û/(C*Û *w) = 1/(w* C) Bem.1.: bei sin-förmigen U : I _eff = i /√2 ,

analog U _eff : X _C = U _eff /I _eff = 1/(w* C) . 2.: X _C ist Blindwiderstand : keine W _el in innere W umgewandelt .

Der R-C-Kreis

Scheinwiderstand Z = √(R² + X _C ²) = Û ₁ / i ;

tan φ = Û _C /Û _R = X _C /R = 1/(w* C* R) (φ hier neg.) . Û _C hinkt I(t) um 90° hinterher

Der R-C-L-Kreis

Z = Û/ i = √(R² + (X _L - X _C)²) = √(R² + (w* L - 1/(w*C))².

Resonanz

Bei best. f ₀ (bzw. w ₀) : I(t) wird max. : Resonanz(-f) :

Bedingungen(äquivalent zueinander : wenn 1 vorliegt , liegen auch die anderen vor) : I max. ; φ = 0 ; Z min. , d.h. Z = R ; Û _R = Û ; Û _L = Û _C ; Û _L & Û _C max. ;

X _L = X _C : w ₀ *L = 1/(w ₀ *C) : w ₀ = √(1/(L*C)) : f ₀ = √(1/(L*C))*1/(2p) .

Leistung im Wechselstromkreis

X _{L , C} : U(t) = Û sin(wt) ; I(t) = (-) i cos(wt)

R : U(t) = Û sin(wt) ; I(t) = i sin(wt)

P(t) = U(t)*I(t) : Momentanleistung

a)      R : P(t) = I²(t)*R ≥ 0 W

b)      X _C : P(t) = - Û sin(wt)* i cos(wt) : Laden : P(t) > 0 W ; Entladen : P(t) < 0 W : C liefert W an die Quelle : In 1 Periode ist Gesamtleistung = 0 W .

c)      X _L : Analog zu b) (ohne - ; W _el wird W _mag wird W _el ) .

Def.: 1.) mittlere Leistung P‾ heißt Wirkleistung (W der Quelle pro Sekunde) .

2.) ohne R : P‾ = 0 W ; der dabei fließende Strom ist ein Blindstrom .

Wirkleistung bei einer Siebkette R-C-L-Glied

U(t) = Û sin(wt) = Û sin(α) ; I(t) = i sin(wt - φ) = i sin(β) ; P(t) = Û * i sin(wt)sin(wt - φ) (P(t) über Zeit integrieren liefert  W)

Einschub : sin α *sin β = ½ (cos(α - β) - cos(α + β))

Ferner gilt : Û * i = √(2) *U _eff *√(2) *I _eff = 2*U _eff *I _eff :

P(t) = 2*U _eff *I _eff *½(cos φ - cos(2wt - φ)) = U _eff *I _eff *cos φ .

cos(2wt - φ) hebt sich über 1 Periode gemittelt auf , cos φ heißt Leistungsfaktor .

Zeigerdiagramm :

Transformatoren

Unbelasteter Trafo: Belasteter Trafo :

Der ideale Trafo

Def.: idealer Trafo : R der Primärspule (PS) = 0 Ω , von PS erzeigte Fluss Φ durchsetzt Sekundärspule (SS) vollständig (gut geschlossene Eisenkerne) .

Der unbelastete Trafo

Primärseite :                                  Sekundärseite :

R ₁ = 0 Ω : I _Prim = Blindstrom , U ₁                          Induktionsgesetz : Durch Flussänderung

& I _Prim sind 90° phasenverschoben . Φ^. : wird in SS U ₂ (t) = -n ₂ *Φ^.(t)

Verbraucht im Leerlauf keine W .                                induziert . Da Trafo unbelastet : fließt

X _L sehr gr. : I _Prim sehr kl.           kein Strom im Sekundärkreis : Fluß Φ

Durch Selbstinduktion :      wird nicht verändert .

U _ind (t) = -n ₁*Φ^.(t) = - U ₁(t) .

Gleichsetzen der Flussänderung :

U ₂ (t)/U ₁(t) = -n ₂ /n ₁ = - ü , für Effektivwerte : U _{2 , eff} /U _{1, eff} = n ₂ /n ₁ = ü

Der belastete Trafo

An SS Wirkwiderstand R legen : Wirkstrom I ₂ = U ₂ /R : entnommenes P‾ stammt von PS (EES) : dort zusätzlich zum Blindstrom I _{1, blind} (mit Φ = 90°) ein Wirkstrom I ₁ (mit Φ = 0°) : P‾ = I _{2 , eff} *U _{2 , eff} = I _{1, eff} *U _{1, eff} :

I _{2 , eff} /I _{1, eff} = U _{1, eff} /U _{2 , eff} = n ₁/n ₂ = 1/ü .

Bem.: Wegen I _{1, blind} ist I _{1, ges} > ü* I ₂ (Bei guten Trafos : I _{1, blind} ≈ 0A , da X _L groß ; bei realen Trafos , wegen

R _Prim ≠ 0 Ω , noch sehr kl. Wirkstrom in PS : verfälscht obere Gleichung) .

Erg.: Spannungen : U _{2 , eff} /U _{1, eff} = n ₂ /n ₁ = ü (U ₂ richtet sich nach U ₁) ;

Wirkströme : I _{2 , eff} /I _{1, eff} = n ₁ /n ₂ = 1/ü    (I ₁ richtet sich nach I ₂)

Anwendungen : n ₂ <<n ₁ , sehr kl. R _Sek : sehr hoher I ₂ : Schweißtrafo ;

n ₂ >>n ₁ : U ₂ >>U ₁ : Hochspannungstrafo (U wegen auftretender Leistung lebensgefährlich) .

Bei Eisenkernen aus einem Stück : Vergrößerung I ₁ : es treten Wirbelströme auf , die Energie aufnehmen : Trafokerne aus Eisenplättchen aufgebaut , die gegeneinander isoliert sind .

Andere Erklärung : a) unbelasteter Trafo : U ₁ (t) = Û ₁ sin(wt) :

PS : I ₁ (t) = i _{1, blind} cos(wt) (Blindstrom) : verursacht Fluss :

SS : U ₂ (t) = - Û ₂ sin(wt) , I ₂ = 0 A .

b) belasteter Trafo : SS + R : SS : U ₂ (t) = - Û ₂ sin(wt) , I _{2 , w} (t) = -i _{2 , w} sin(wt) (Wirkstrom) : zusätzlicher Fluss : U _{1, ind} (t) = -Û _ind cos(wt) :

I _{1, w} (t) = i _{1, w} sin(wt) .

Wirkleistung : P‾ = Û ₁ * i ₁ cos φ

bzw. P‾ = Û ₁ * i _{1, w} :

Wirkströme : i _{2 , w} / i  _{1, w} = Û ₁ /Û ₂ = n ₁ /n ₂