PHASE LOCKED LOOPS

PHASENREGELKREIS

Ein PLL ist ein Regelkreis, dessen Aufgabe darin besteht, einen Oszillator in Frequenz und Phase mit einem Eingangssignal zu synchronisieren. Sind die beiden Signale synchronisiert, so ist die Phasenverschiebung zwischen den Beiden ein festgelegter Wert. Tritt nun eine Phasenverschiebung zwischen den Signalen auf, die nicht dem festgelegtem Wert entspricht, so wird der Oszillator solange nachgeregelt, bis die Phasenverschiebung wieder diesem Wert entspricht. Daher der Name Phasenregelkreis oder Phase-Locked-Loop.

Beim PLL betrachtet man anstelle der für Elektroniker anschaulichen Signale u(t) und U(w) das sehr abstrakte (weil meßtechnisch schwer zu erfassende) Signal j(t) bzw. F(w)

Wie gewohnt erweist sich bei der Betrachtung des Übertragungsverhaltens von Netzwerken die Darstellung im Frequenzbereich als günstig. Das Übertragungsverhalten im Zeitbereich (Sprungantwort) erhält man dann am einfachsten mit Hilfe der Laplace-Transormation.

Vereinfachungen: Wie üblich ist das Übertragungsverhalten nur dann mit vertretbarem Aufwand lösbar, wenn sich das System linear verhält. Das ist insbesondere beim Phasenkomparator nicht der Fall. Daher gilt für uns die Näherung, daß der Phasendetektor sich linear erhält

Erhebliche Probleme bei der Behandlung des PLL entstehen durch die Notwendigkeit viele neue Größen einzuführen, deren Bezeichnungen in der Literatur sehr uneinheitlich ist. Es werden sogar gleiche Bezeichnungen für unterschiedliche Größen verwendet. Als Hilfe dient die Tabelle Definiton der verwendeten Größen im Anhang.

Klassifizierung der PLL Typen

Die PLL Typen werden grundsätzlich in vier verschiedene Gruppen unterteilt:

linearer PLL . . . . . LPLL

digitalter PLL . . . . . DPLL

vollständig digitaler PLL . . . . . ADPLL (all-digital)

Software PLL . . . . . SPLL

Der lineare PLL (LPLL) gehört zum Arsenal der Analogschaltungen und fand seine erste große Anwendung beim Aufkommen der Fernsehtechnik in den fünfiger Jahren. Er besteht aus den Teilschaltungen Phasendetektor, Schleifenfilter und VCO.

1970 erschienen die ersten digitalen PLL (DPLL). Hiebei wurde als Phasendetektor eine Logikschaltung verwendet, sonst unterschied er sich vom LPLL nicht. Der klassische digitale PLL war also eine Mischung aus Analog- und Digitaltechnik.

Etwa 1980 erschienen dann die vollständig digitalen PLL - Schaltungen (ADPLL). Diesser besteht, wie der Name schon sagt, rein aus digitalen Schaltungen.

In der heutigen Zeit der Mikroprozessoren ist es natürlich auch möglich einen PLL softwaremäßig zu realisieren, mit Hilfe eines uP oder Digitalen Signalprozessoren (DSP). Wir nennen diesen Typ SPLL.

Zur anschaulichen Beschreibung der Funktion, und zur Einführung aller wesentlichen Begriffe soll das Beispiel des LPLL dienen.

2.1 Der LPLL

Je nach PLL Typ werden unterschiedliche Funktionsbausteine benötigt. Für den LPLL brauchen wir, wie schon oben erwähnt, Analogschaltungen (siehe Abb.1). Als Phasendetektor wird ein Multiplizierer verwendet. Als Schleifenfilter wird ein Tiefpass verwendet, da die am Multiplizierer entstehenden Wechselspannungsanteile unerwünscht sind. Als Oszillator wird meist ein VCO verwendet.

Der angeführte Begriff linear bezieht sich wie oben erwähnt auf die Art des Phasendetektors PD. Lineare PDs sind dadurch gekennzeichnet, daß sie aus analogen Bauteilen aufgebaut sind, die im linearen Bereich ihrer Kennlinien arbeiten. Der lineare PD ist nichts anderes als eine analoge Multiplizierschaltung.

Wir setzen die Signale aus Abb. 1, die die Eingangssignale des PDs darstellen, folgendermaßen an:

Die Ausgangsspannung des Phasendiskriminators PD, ergibt sich nun durch Multiplikation seiner beiden Eingangssignale und einer konstanten k_j:

Für die Regelspannung des VCO soll aber nur der Gleichspannungsanteil herangezogen werden. Dabei ist j_w-j_n der sogenannte Phasenfehler j_e. Errechnet man den Wert (du_j/dj_e)_max, so erhält man den PD-Gewinnfaktor K_j, welcher die Phasenregelsteilheit des PD charakterisiert. Es ist zu beachten, daß K_j im allgemeinen in V/rad angegeben wird. Außerdem stellt K_j den Maximalwert des Gleichspannungsanteil dar. Den Gleichspannungsanteil erhält man durch den Tiefpaß der nur diesen durchläßt und alle anderen höherfrequenten Signale wegfiltert.

Unter der Annahme, der Wechselspannungsanteil sei vollständig unterdrückt, steht am Ausgang des Tiefpaßfilters folgendes Signal zur Verfügung:

ist dabei der Betrag der Übertragungsfunktion des Filters bei Gleichspannung. Mit der Spannung u_T wird nun der VCO angesteuert. Dessen Ausgangsfrequenz beträgt dann:

            w_n = w_c + K_cu_T(t)

Wobei w₀ die Ruhefrequenz darstellt, und K_v die Regelsteilheit des VCO ist. Setzt man nun die Gleichung für u_T ein, dann erhält man

Das Produkt K_cK_j nennt man Schleifenverstärkung und hat die Einheit der Kreisfrequenz.

Beim Einschalten des PLL ist anzunehmen, daß der VCO nicht mit der Frequenz des Eingang Signals anschwingt. Daher muß zuerst ein Vorgang stattfinden, den wir Einrasten nennen. Dieser Einrastvorgang wird später besprochen. Selbst wenn der PLL eingerastet ist, und der VCO der Phasenänderungen des Eingangssignals versucht nachzuregeln, so ist es einleuchtend, daß bei großen Ferquenz- und Phasenänderungen des Eingangssignal der PLL ausrasten kann. Unter welchen Bedingungen der PLL eingerastet bleibt werden wir ebenfalls später behandeln. Vorerst sei einmal angenommen, daß der PLL eingerastet ist und nicht ausrastet.

2.4 Ordnungszahl des PLL

Die Ordnugszahl eines PLL wird durch die Anzahl der Pole des Schleifenfilters festgelegt. Für die Ordnungszahl des PLL gilt, dass sie um eins größer ist als die Anzahl der Polstellen des Schleifenfilter. In unserem konkreten Beispiel mit einem passiven Tiefpass Filter (ein Pol) er-gibt sich also ein PLL zweiter Ordnung.

2.5 PLL im eingerasteten Zustand

Ein PLL wird dann als eingerastet (in lock) bezeichnet, wenn er zu jeder Zeit die Phase j_n des Oszillators der Phase j_w des Eingangssignals nachregeln konnte.

Im eingerasteten Zustand verhält sich ein PLL 2.Ordnung genau wie ein Nachlauf-Servosystem. Das Nachlauf-Servosystem besteht aus einem Geber Potentiometer G, einem Servoverstärker A sowie einem Motor, der das Folge-Potentiometer F antreibt. Das Servosystem hat die Aufgabe, die Stellung J₂ von F derjenigen von G nachzuregeln. In dem Modell entspricht die Stellung (Drehwinkel J₂) von G der Eingangsphase J₁, während die Stellung (Drehwinkel J₂) von F der Phase J₂ des VCO Signal entspricht. F kann G nur dann nachlaufen, wenn der Drehwinkel J₁ langsam verändert wird. Wird J₁ dagegen sehr rasch verändert, kann die Regelung (Zeitver-zögerung, Trägheit, ) nicht mehr folgen und es entsteht ein großer Phasenfehler J_e

2.5.1 Störungen am PLL Eingang

Ziel ist es, bei einer Störung am Eingang, die Reaktion des Ausgangs beschreiben zu können. Als Störung wird die Anderung der Phase des Eingangssignals gesehen, und danach die Phase des VCO Signals zu berechnen.

Für das Eingangssignal setzen wir u_w(t) = Û_w0 sin(w_wt + j_w)

a.) bei t=0 tritt am Eingang ein Phasensprung der Größe Dj auf. Die Störfunktion für die

Phase am Eingang ist daher  j_w(t) = Dj u(t) , wobei mit u(t) der Sprung am Eingang

bezeichnet wird.

b.) bei t=0 tritt ein Frequenzsprung von w_w auf w_c+Dw. Somit ergibt sich für die Störfunktion

       j_w(t) = Dwt , verläuft also rampenförmig.

c.) ab t=0 wird die Frequenz linear gewobbelt. es gilt: w_w(t) = w_c+Dwt. Da die Phase eines

Signals dem zeitlichen Integral über die Frequenz entspricht ergibt sich für die Störfunk-

tion:

2.2 Linearisierung des Netzwerkes

Das Verhalten eines Systems wird in der Regeltheorie allgemein im Frequenzbereich unter der Anwendung der Laplace - Transformation untersucht. Dies setzt allerdings eine Linearität des Netzwerkes voraus. Nun besteht das Problem, daß unser Phasendetektor PD (Multiplizierer) eine Nichtlinearität darstellt, da unser Ausgangssignal des PD gleich ist u_j = K_jsinj_e. Unter den Voraussetzungen das der PLL stets eingerastet bleibt (w_w = w_n) und der Phasenfehler klein bleibt kann man eine Vereinfachung durchführen, sinj_e j_e, sodaß das Netzwerk als linear angesehen werden kann. Für Laplace tranformierte Größen werden nun Großbuchstaben verwendet. Wir bezeichnen Laplace transformierte als F(s) (Funktion von s). Es gelten daher folgende Beziehungen:

Für den Phasendetektor:

Für das Filter:

Für den VCO:

Nun kann die Antwort F_n(s) bei gegebenen F_w(s) berechnet werden:

Somit ergeben sich zwei neue Begriffe, die wir bei der näheren Betrachtung des PLL brauchen:

1. Phasenübertragungsfunktion: gibt an welche Anwort j_n der PLL abgiebt, wenn am

Eingang eine Phasenstörung j_w angelegt wird.

2. Fehlerübertragungsfuntion: gibt an, welcher Fehlerwinkel j_e bei Anlegen einer

Phasenstörung j_w am Eingang entsteht

Nun wollen wir H(p) und H_e(p) auf w_n normieren, sodass wir eine allgemein gültige Darstellung von H(p) und H_e(p) erhalten. Dazu müssen wir F(p) in die obigen Formeln einsetzen. Die Berechnung vereinfacht sich, da der Filtertyp 1 nur ein Spezialfall von Typ 2 mit t₂ = 0 ist, und Filtertyp 4 ebenfalls ein Spezialfall von Typ 3.1 ist. Somit muss die Rechnung nur für Typ2 (passiv) und Typ 3.1(aktiv), durchgeführt werden. Wenn noch die Annahme getroffen wird, dass eine High gain loop vorliegt (w_n << K_jK_v), so sind die Phasenübertragungsfunktion H(p) und die Fehlerübertragungsfunktion H_e(p) annähernd identisch, wodurch sich folgende Beziehungen ergeben:

Nun kann eine normierte Darstellung gemacht werden:

H(p) H_e(p)

Die Darstellung von H_e(s) wurde für z =0,707 dargestellt. Man erkennt aus dem Diagramm von H_e(s), dass für Störsignale j_w, eren Frequenz viel kleiner als w_n ist, der Phasenfehler gegen null geht. Für Störsignale, deren Frequenzen größer sind als w_n geht H_e jedoch gegen 1, d.h. das diese Fehler nicht mehr ausgeregelt werden können.

2.6 PLL im ausgerasteten Zustand

Wie die Überschrift schon sagt, befindet dich der PLL im ausgerasteten Zustand und ist somit nicht mehr eingerastet. Folglich gilt auch die Näherung sinj_e j_e nicht mehr. Somit ist auch die Laplace-Transformation nicht mehr ohne weiteres anwendbar. Will man trotzdem den Einrastvorgang des PLL berechnen, muß man versuchen, die nichtlineare Differentialgleichung des PLL im Zeitbereich zu lösen. Eine exakte Lösung des Einrastvorganges gibt es allerdings nicht, doch gibt es Näherungslösungen, die durchaus brauchbar sind. Zuerst müssen die Differentialgleichungen für die drei Funktionsbausteine (PD, Filter, VCO) aufgestellt werden.

für den Phasendetektor gilt: u_j(t) = K_jsinj_e

für das Filter gilt: passives Filter Typ 2

für die Spannung ergibt sich:

Diese drei Formeln bilden zusammen ein System dreier Differentialgleichungen für die Varia-blen j_e, u_w und u_T. Nach Elimination von u_w und u_T ergibt sich für j_e folgende Gleichung:

Wenn nun für t₁ und t₂ die Substituion für w_n und z einführen und weiters die meist gültige Vernachlässigung 1/t₂ << K_jK_v treffen so ergibt sich:

Diese Differentialgleichung ist nichtlinear da sie die Koeffizienten sinj_e und cosj_e, die bekannt-lich nichtlinear sind, enthält. Eine exakte Lösung für diese Gleichung ist nicht bekannt. Es gibt jedoch eine Differentialgleichung praktisch identisch mit der eines mathematischen Pendels, so-dass sich die meisten wesentlichen Resultate durch Analogieschüsse herleiten lassen.

Angenommen das Eingangssignal des PLL habe die beliebige Frequenz  w_w(t) = w_w+Dw, wobei Dw der Eingangsfrequenzoffset genannt wird. Die Phase ist dann (wie vorher gezeigt) gegeben durch  j_w = Dwt. Für und gelten dann:

daraus ergibt sich für f_stör

2.6.1 Phasensprung:

Nun soll die Frequenz w_w des Eingangssignals langsam geändert werden (siehe Störungen am PLL Eingang). Wenn die Anderung langsam genug erfolgt, so bleibt in der Formel null.

Wird die Frequenz w_w immer mehr erhöht, so wird der Phasenfehler immer größer bis er einen Grenzwert erreicht. Wird die Frequenz jetzt noch mehr erhöht, wird der PLL instabil und kann der Phasenänderung nicht mehr folgen. Der Bereich, innerhalb dessen der PLL bei langsamer Veränderung der Eingansfrequenz w_w stabil arbeitet heißt Haltebereich (Hold-in-range). Der Haltebereich w_H stellt die statische Stabilitätsgrenze des PLL dar.

2.6.2 Frequenzsprung

Nun sei angenommen, dass sich die Eingangsfrequenz bei t=0 sprunghaft um Dw ändert. Dann ist die erste Ableitung nicht mehr null, sondern führt zur Zeit t=0 einen Deltastoss (Dirac-Impuls) aus. Somit ergibt sich für die Störfrequenz

Es ist ersichtlich, daß der PLL schon vor dem Grenzwert des Haltebereichs instabil wird (vergleiche Analogiemodell Pendel). Es wird daher eine dynamische Stabilitätsgrenze eingeführt die als Pull-out-Frequenz genannt wird. Sie ist definiert durch den maximal zulässigen Frequenzsprung, bei dem der PLL gerade noch nicht ausrastet.

2.6.3 Frequenzrampe

Die Eingangsfrequenz w_w wird linear gewobbelt, d.h. , worin die Ander-ungsgeschwindigkeit darstellt. Der PLL bleibt nur stabil, wenn die Anderung der Eingangsfrequenz (wobbeln) nicht zu schnell erfolgt (vergleiche Pendel). Wie später gezeigt wird muss für die Stabilität gelten:

Nehmen wir an, der PLL sei infolge Übertretung einer dieser Bedingungen ausgerastet. Wird er nun erneut einrasten, sobald alle obigen Bedingungen wieder erfüllt sind? Die Antwort ist nein.

Wenn z.B. der Haltebereich überschritten wird der PLL instabil, und wird auch durch unterschreiten des Haltebereichs nicht stabil werden. Es muss die Frequenz des VCO allmählich auf die Frequenz des Eingangssignal gebracht (gezogen) werden. Dieser Vorgang wird als Pull-in-Vorgang oder Ziehvorgang bezeichnet. Es wird daher ein Ziehbereich (Pull-in-range) w_Z definiert. Ein Ziehvorgang wird demnach immer dann stattfinden, wenn Dw kleiner als der Ziehbereich w_Z ist.

Weiters ist noch der Fangbereich (Lock-in-range) zu definieren. Der PLL ist ausgerastet. Es ist nun möglich den PLL innerhalb einer einzigen Schwebung zwischen u_w und u_n einrasten zu lassen, wenn der Eingangsfrequenzoffset Dw kleiner als der Fangbereich w_F wird.

Fang- und Ziehbereich müssen streng voneinander getrennt werden. Analog zu den beiden Grenzfrequenzen w_Z und w_F können die Fangzeit T_F (Lock-in-time = Dauer des Fangvorganges) und die Ziehzeit T_Z (Pull-in-time=Dauer des Ziehvorganges) eingeführt werden. In der praktischen Anwendung wird nur mehr der Fangbereich ausgenutzt, da die Fangzeit sehr viel kleiner als die Ziehzeit ist.

Die oben definierten Größen liegen im Allgemeinen symetrisch zur Ruhefrequenz w_c des VCO (siehe Abbildung).

Diese Abbildung ist nur für den linearen PLL gültig

2.7 Der Einrastvorgang

2.7.1 Der Haltebereich

Zur Wiederholung: Der Haltebereich ist jener, innerhalb dessen der PLL statisch stabil bleibt. Den Haltebereich erhält man durch berechnen der Eingangsfrequenz w_w für die der Phasen-fehler j_e im eingeschungenen Zustand gerade p/2 (90°) beträgt.

w_w = w_c +Dw         T            j_w(t) = Dwt           T             F_w(s) = Dw/s²Daraus läßt sich der Fehlerwinkel F_e(s) berechnen

Mit Hilfe des Endwert-Theorems der Laplace-Transformation läßt sich auch der Phasenfehler

im eingeschwungen Zustand berechnen

. für kleine Phasenfehler sodass gilt j_e = sinj_e

Da sinj_e nie größer als 1 wird ergibt sich für den Haltebereich w_H = K_jK_vF(0)

F(0) ist für aktive und passive Filter unterschiedlich. Somit ergeben sich für aktive und passive Filter unterschiedlich große Haltebereiche, theoretisch:

Aktivfilter: w_H =               F(0)

Passivfilter: w_H = K_jK_v Schleifenverstärkung (Loop Gain) F(0) = 1

Der Haltebereich des PLL mit Aktivfiltern ist in der Praxis durch den Aussteuerbereich des VCO begrenzt.

2.7.2 Der Fangbereich

Der Fangbereich ist jener Bereich, innerhalb dessen der PLL innerhalb einer Schwebungsper-iode zwischen u_w(t) und u_n(t) einrastet (siehe Abb.)

Für Filtertyp 1 und 4 gilt

Für Filtertyp 2 und 3 gilt

Für alle PLLs 2.Ordnung gilt

2.7.3 Der Ziehvorgang

Wenn wir uns die Abbildung des Fangvorganges (oben) nochmal ansehen, sieht es so aus, als würde der PLL nie einrasten, da die Kurve den oberen Wert nie erreicht. Doch betrachten wir die Situation etwas genauer:

Wir trennen nun den PLL zwischen VCO und dem PD auf. Im nicht eingerasteten Zustand enthält U_j, die Ausgangsspannung des PD, keinen Gleichanteil, sodaß der Mittelwert von w_n, die Frequenz des VCO Ausgangs, gleich ist der Kreisfrequenz w_c des VCOs.

Schließt man nun den Kreis, so liegt an den Eingängen des PD einerseits das Eingangssignal U_W(t) mit w_W an, ebenso wie daß Ausgangssignal des VCOs mit der Frequenz w_n=w_c. Es entsteht eine Frequenzdifferenz w_w-w_n die Zwischen zwei Werten schwankt. Diese Frequenzänderung findet innerhalb einer Periode statt, was dazu führt, daß die obere Halbwelle eine andere Frequenz aufweist als die untere Halbwelle. In der positiven Halbwelle erreicht die Differenz ein Minimum Dw_min, in der Negativen ein Maximum Dw_max.

Daraus folgt, das die Dauer der positiven Halbwelle länger ist als die der Negativen (siehe Abb.). Daher wird die mittlere Frequenz w_m in positive Richtung verschoben. Man erhält ein Signal u_j(t), daß am Ausgang des Tiefpasses einen Gleichanteil bewirkt.

Die Wellenform des Wobbelsignals ist nun von Dw abhängig. Die Unsymetrie wird mit abnehmenden Dw größer. Durch die größere Unsymetrie wird der Mittelwert wiederum in positiver Richtung verschoben. Dieser Vorgang führt dazu, das die VCO-Frequenz auf den Wert von w_w hinaufgezogen wird. Dieser Vorgang wird Ziehvorgang genannt. Der Ziehvorgang findet dann statt, wenn der anfängliche Frequenzoffset kleiner als der Ziehbereich w_Z ist. Es ergibt sich:

für High gain loops gilt dann

Für die Dauer des Ziehvorgangs ergibt sich              Dw₀ anfängliches Dw

Rechenbeispiel:

Ein PLL 2.Ordnung mit einem Tiefpassfilter Typ 2 (passiv) arbeitetbei einer Ruhefrequenz von f_c = 100kHz. Seine Resonanzfrequenz f_n betrage 3Hz (T sehr schmalbandig). Die Dämpfung wird mit z = 0,7 gewählt

Man berechne T_L sowie T_P für einen anfänglichen Frequenzoffset von 30Hz. Die Schleifenver-stärkung K_jK_v betrage 2p*1000s^-1. Man erhält:

T_L = 5,3 ms T_P = 3,789s T_P ist also praktisch 1000 mal größer als T_L!

2.7.4 Der Ausrastbereich

Der Ausrastbereich (pull-out-range) ist der maximale Frequenzsprung, der am Eingang ange-legt werden darf, ohne das das System ausrastet. Für den stabilen Betrieb darf der statische Phasenfehler nicht größer als p/2 werden, jedoch sind kurzzeitig Phasenfehler bis p zulässig (vergleiche Pendel). Eine exakte Berechnung des Ausrastbereichs für den LPLL ist bisher nicht bekannt. Aus Simulationen ist jedoch eine Näherungsformel hergeleitet worden.

Der Ausrastbereich beträgt demnach w_A = 1,8w_n(z+1)

Dies bedeutet, dass man prinzipiell bei einem frequenzmodulierten Signal den gesamten Aus-rastbereich ausnutzen darf. Rastet der PLL infolge eines Störimpulses einmal aus, so würde das System mit einem Ziehvorgang wieder einrasten. Da dies aber unter Umständen sehr lange dauert, beschränkt man in den meisten Fällen den Arbeitsbereich auf den Fangbereich.

Die zwei folgenden Analogiemodelle sollen helfen, die Funktionsweise und die Definitionsbereiche des PLL besser zu verstehen. Jedoch sollten sie nicht durch diese erklärt werden, sondern nur zur Unterstützung dienen.

3.1 Analogiemodell - Pendel

Der Abbildung des Pendels ist zu entnehmen, dass der Arm des Pendels mit der Masse M starr mit einer frei drehbaren Achse verbunden ist. Ebenfalls an der Achse befestigt ist die Trommel. An einem beliebigen Punkt der P der Trommeloberfläche sei das Ende eines langen dünnen Faden verbunden, welcher mehrmals um die Trommel gewickelt wurde, und am vorderen Ende eine frei hängende Waagschale befestigt. Auf die Waagschale wird ein beliebiges Gewicht G gestellt. Die Masse des Pendelarms, der Achse, der Trommel, des Fadens und der Waagschale wird mit null angenommen. Liegt kein Gewicht auf der Schale, so hängt der Pendelarm vertikal nach unten. Befindet sich allerdings ein Gewicht auf der Schale, so stellt sich der Pendelarm auf eine Lage j_e ein.

Analogieformel errechnet aus dem dynamischen Verhalten

Diese Formel bestimmt das gewünschte Gewicht zum Zeitpunkt t=0

Um das Modell anwenden zu können musste angenommen werden, das die Reibung des Pendels r in Luft nicht konstant ist, sondern mit einem Faktor cosj_e variiert. mit dieser An-nahme ist das Modell analog zum PLL. Das rührt von dem Faktor cosj_e der beim PLL auftrat.

Das bedeutet, dass im unteren Halbkreis die Reibung positiv, im Oberen negativ, sein müsste. Das klingt zunächst unrealistisch, doch stellen wir uns vor ein Gewicht auf die Schale zu legen, sodass das Pendel sich fortlaufend um die eigene Achse im Kreis dreht, ohne zum Stillstand zu kommen (der Faden sei lang genug). Aufgrund der Erdbeschleunigung g wird diese Bewegung nicht gleichförmig verlaufen. Die Winkelgeschwindigkeit im unteren Halbkreis wird also größer sein als jene im oberen Halbkreis. Dann aber wird das mittlere Reibungsmoment J_R positiv. Die Annahme, dass der Reibungskoeffizient r des Pendels proportional zu cosj_e vari-iert, ist daher physikalisch vertretbar.

Will man jetzt das Verhalten des PLL bei einem beliebigen Eingangsfequenzoffset Dw erhalten, so muss man im Pendelmodel ein entsprechendes Gewicht auf die Waagschale legen, dessen Größe durch die obige Formel gegeben ist. Der Verlauf ist des Winkels j_e beim Pendel ist dann identisch mit dem Verkauf des Phasenfehlers j_e beim PLL.Arbeitet der PLL exakt auf der Mittenfequenz w_c, dann ist Dw. Folglich gilt dann auch G = 0. Das Pendel hängt dann vertikal nach unten, wodurch j_e = 0 wird.

3.1.1 Phasensprung - hold in range :

Nun soll die Frequenz w_w des Eingangssignals langsam geändert werden, wie vorher gezeigt. Wenn die Anderung langsam genug erfolgt, so bleibt in der Formel null. Das auf die Waagschale zu setztende Gewicht ist dann ist also direkt proportional zu Dw. Es entsteht ein Pendelausschlag j_e und analog dazu ein Phasenfehler j_e beim PLL. Wir die Frequenz w_w immer mehr erhöht, so wird der Pendelausschlag immer größer bis er einmal den Wert p/2 = 90° erreicht. Wird die Frequenz jetzt noch mehr erhöht, wird das Pendel instabil und beginnt zu kreisen. Damit ist der Haltebereich w_H mit Hilfe des Pendelmodells erklärt

3.1.2 Frequenzsprung - pull out range :

Wie vorher gezeigt, soll das Eingangssignal einen Frequenzsprung ausführen. Diesen Fall kann man realisieren, wenn man Gewicht, welches der Frequenzänderung proportional ist, aus einer bestimmten Höhe auf die Waagschale fallen läßt. Man wird erkennen, dass das Pendel schon bei einem Gewicht G, das einen statischen Ausschlag von weniger als p/2 erzeugen würde, instabil wird. Es wird daher eine dynamische Stabilitätsgrenze eingeführt, die Pull-out-Frequenz.

3.1.3 Frequenzrampe

Zur Realisierung dieses falls, muss das Gewicht auch rampenförmig gesteigert werden, genauso wie die Frequenz (wobbeln). Man erreicht diesen Effekt wenn man ein Pulver gleichmäßig auf die Schale schüttet. Das Pendel bleibt nur dann stabil, wenn die Schüttgeschwindigkeit (Masse pro Zeiteinheit) einen kritischen Wert nicht überschreitet. Das heißt, dass man die Eingangsfrequenz w_w nicht beliebig schnell wobbeln darf. Wie später gezeigt wird muss für die Stabilität gelten:

Nehmen wir an, der PLL sei infolge Übertretung einer dieser Bedingungen ausgerastet. Wird er nun erneut einrasten, sobald alle obigen Bedingungen wieder erfüllt sind? Die Antwort ist nein. Wurde zum Beispiel der Haltebereich überschritten, so kippt das Pendel im Modell oben über und beginnt zu kreisen. Wäre nun keine Reibung vorhanden, würde das Pendel auch dann weiterkreisen, wenn G auf null reduziert würde. Es ist aber Reibung vorhanden, allerdings wird das Pendel noch weiterkreisen, selbst wenn G unter den dem Haltebereich entprechenden Wert reduziert würde. Sobald das von G erzeugte Antriebsmoment jedoch kleiner wird als das mit-tlere Reibungsmoment des Pendels, wird die Kreisbewegung abgebremst. Das Pendel wird all-mählich langsamer kreisen und schließlich zum Stillstand kommen. Dieser Vorgang wird als Pull-in-Vorgang oder Ziehvorgang bezeichnet.

Weiters ist noch der Fangbereich (Lock-in-range) zu definieren. Der PLL ist ausgerastet, sodass das Modell des Pendels um die eigene Achse kreist. Es ist nun möglich das Pendel in-nerhalb einer einzigen Umdrehung zum Stillstand zu bringen, wenn G genügend reduziert wird.

3.2 Analogiemodell - mechanisch verbundene Scheiben

Das Modell ist identisch zum PLL und soll die Verhältnisse von Frequenz und Phase erläutern. Das Modell der mechanisch verbunden Scheiben besteht aus zwei identischen, schweren Scheiben, mit zwei verschiedenen, zentralen Schäften die mit den Scheiben verbunden sind. Die Schäfte sind so verbunden, daß sie sich bei einer Kraftwirkung in beide Richtungen drehen können. Die Schäfte selber sind durch eine Feder verbunden deren Enden auf den Schäften fixiert ist. Die Feder kann sich nicht biegen, d.h. die Achse die die beiden Schäfte bilden verlassen.

Abbildung 1 mech. verbundene Scheiben

Nun betrachten wir die Abbildung 2 in denen die Scheiben vereinfacht wie Uhren dargestellt sind. Die Zeiger oder Positionsmarker zeigen die jeweilige Phase an. die linke Scheibe ist die "Eingangsscheibe" die im Vergleich zum PLL den Eingang darstellt, wohingegen die "Ausgangsscheibe" rechts den Ausgang repräsentiert. In der Ausgangsstellung sind beide Scheiben in einer neutralen Position. Nun bewegt sich die linke Scheibe (Eingang) langsam im Uhrzeigersinn bis zum Winkel j₁. Die Feder beginnt sich zu spannen, die rechte Scheibe bewegt sich jedoch vorerst nicht. Erst als die linke Scheibe den Winkel j₂ erreicht beginnt auch die rechte Scheibe sich zu drehen und folgt der linken Scheibendrehung mit einem Phasenunterschied von j_e = j₂. Bei sehr kleiner, gleichbleibender Drehgeschindigkeit der linken Scheibe, wird die rechte Scheibe immer mit einem Phasenfehler von j_e folgen (siehe vierte Abb. j_e = j₃ - j₄). Dieser Phasenfehler ist gleichbedeutend mit dem Phasenfehler beim PLL. Wenn die Eingangsscheibe stehen bleibt, so stoppt auch die Ausgangsscheibe, mit dem fixen Phasenunterschied von j_e = j₃-j₄ = j₅-j₆.

Abbildung 2

Nun stellen wir uns vor, die Scheiben wären wieder in ihrer neutralen Ausgangsstellung. Nun soll die linke Scheibe eine spontane und schnelle Drehung bis j₁ durchführen (siehe Abb.3). Die rechte Scheibe kann aufgrund ihrer Massenträgheit nicht sofort reagieren. Die Feder besitzt daher eine große Energie, die nur langsam in eine kinetische Energie zur Drehung der rechten Scheibe übergeht. Die rechte Scheibe wird beschleunigt und erreicht bei j₁ ihre größte Geschwindigkeit. Aufgrund der Massenträgheit kommt es natürlich zu einem Überschwingen. Die kinetische Energie der Scheibe wandelt sich wieder in eine Federenergie um. Diese Wechselwirkung würde unendlich lange andauern. Aufgrund von Reibungsverlusten jedoch werden die Überschwingspitzen (die Phasenunterschiede zu j₁) kleiner und die Scheibe pendelt sich daher langsam auf j₁ ein. Jedoch wir ein kleiner Phasenfehler auftreten, der größer oder kleiner als j₁ ist. Die Erklärung dazu wurde im vorherigen Absatz besprochen. Analog entspricht dies einem Phasensprung beim PLL.

Abbildung 3

Als letztes Beispiel sollen dieBilder in Abbildung 4 dienen, wo zu Beginn beide Scheiben bei einer konstanten Geschwindigkeit rotieren. An den Scheiben wir eine blinkende linienförmige Lichtquelle angebracht. Die Blinkfrequenz soll mit der Umdrehungsfrequenz (Zeit pro eine Umdrehung) übereinstimmen. Somit erkennt man die Lichtquelle als stehende Linie. Es wird sich zwischen den beiden Scheiben wiederum, wie schon vorher erkärt, ein Phasenfehler einstellen. Die Umdrehungsfrequenz der Eingangsscheibe wird nun langsam erhöht. Der Zeiger (Lichtquelle) wird daher anfangen im Uhrzeigersinn um die Scheibe zu wandern. Die rechte Scheibe wird nach einer kurzen Verzögerung aufgrund der Massenträgheit die erhöhte Umdrehungsfequenz annhemen und ihr Zeiger wird ebenfalls beginnen zu wandern. Ist die Frequenz um einen gewissen Wert erhöht wird die Umdrehungsfrequenz wieder konstant gehalten. Die Zeiger werden natürlich weiter wandern. Die Blinkgeschwindigkeit wird daher auch erhöht werden müssen. Ist dies geschehen, so müssen beide Zeiger wieder einen stationären Zustand einganommen haben. Betrachtet man nun den Phasenunterschied zwischen linker und rechter Scheibe so erkannt man, daß dieser größer wurde. Auf den PLL bezogen bedeudet dies eine rampenförmige Steigerung der Eingangsfrequenz (wobbeln). Die Ausgangsscheibe simuliert die Reaktion des VCO auf diese Anderung der Eingangsfrequenz.

(Anmerkung: Kopplung der Eingangsscheiben-Umdrehungsfrequenz mit der Blinkrate der Lichtquelle würde die Reaktion des Ausgangs zeigen)

Abbildung 4

Als Filter werden sowohl aktive als auch passive Tiefpässe 1.Ordnung verwendet. Die allgemeine Form der Übertragungsfunktion eines Filters erster Ordnung ist:

Wobei F(p) die Übertragungsfunktion des jeweiligen Filters darstellt.

Als Loop Filter (Schleifenfilter) für den LPLL verwenden wir einen einfachen Tiefpass. Um die Funktion des TP zu verstehen, wird die Berechnung im Zeitbereich einmal gezeigt.

Die Übertragungsfuntion eines Filters lautet allgemein

Die Berechnung der Übertragungsfunktion für den Tiefpass lautet:

für

Um nun die Dämpfung x und w_n berechnen zu können, müssen wie zuerst die Phasenübertragungsfunktion H(s) berechnen, die wir im vorigen Kapitel (Linearisierung des Netzwerkes) berechnet haben.

Sie lautet

Nun setzen wir für F(p) die Übertragungsfunktion unseres Filters ein und erhalten

Nun müssen wir den Nenner der berechneten Phasenübertragungsfunktion dem Nenner der auf w_n normierten Phasenübertragungsfunktion (siehe Kapitel Linearisierung des Netzwerks) die entsprechenden Teile für p², p und 1 gleichsetzen. Daraus können wir w_n und die Dämpfung x berechnen:

              

Wir erhalten ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten w_n läßt sich sichtlich sofort berechnen. Danach braucht man nur in die mittlere Gleichung einsetzen und erhält die Dämpfung.

Mit dieser Methode läßt sich das Verhalten eines jeden beliebigen Filter berechnen. Einige Ergebnisse für Filter finden sich im Kapitel Loop Filter.

Je nach Lage der Pol- und Nullstellen unterscheidet man zwischen vier Filter-Varianten:

1. passives Filter (Tiefpass): keine Nullstelle   T   (b=0)

2. passives Filter: 1 Pol und 1 Nullstelle   T    (a,b,c,d 0)

3. aktives Filter (PI-Glied): 1 Polstelle bei w = 0 (reiner Integrator b = c = 0)

4. aktives Filter (Integrator): 1 Polstelle bei w = 0 (Integrator c = 0), keine Nullstelle

Analoge Multiplizierschaltung als Phasendetektor

Für die grundlegende Betrachtung eines PLL eignet sich als Phasendetektor am besten ein Multiplizierer, da er für sinusförmige Signale geeignet ist.

allgemein:

multiplizieren von zwei Sinus-Signalen

Da der höherfrequente Anteil ohnehin durch Das Tiefpassfilter weggeschnitten wird, kann dieser bei weiteren Betrachtungen weggelassen werden.

mit w_w = w_n (PLL eingerastet) ergibt sich eine Vereinfachung:

Berücksichtigt man auch die Zeitverzögerung im Phasenkomparator, so wird K_j komplex:

Zeitbereich: K_jd(t-t₀) Frequenzbereich: K_j = K_je^jwt

Voltage-controlled-oszillator (VCO)

Die Frequenz des Oszillator läßt sich mit Hilfe einer Steuerspannung gemäß der Beziehung

w_n = w_c + K_cu_T(t) variieren. Dies ist notwendig, wenn eine Abweichung von w_c benötigt wird. Man braucht dann eine Gleichspannung am VCO. Das ist der Fall, wenn die Eingangssignalfrequenz von der Ruhefrequenz w_c des VCOs abweicht.

Da die Phase j_n das Integral von w_n ist ergibt sich für diese

Wird nun der Phasenwinkel j_n im Bildbereich dargestellt, d.h. Laplace-transformiert, ergibt das