Referat Einführung der Kovarianz (Abweichungen)

Einführung der Kovarianz (Abweichungen)

cov (X, Y) = E(X - EX) (Y-EY) cov (X, Y) = D²X

Kovarianzmatrix:

symmetrisch, positiv definierte Matrix

Kovarianz normieren: z(X,Y) =

Aussage: Komponenten X und Y unabhängig E( X*Y) = (EX) (EY)

cov (X,Y) = 0

z(X, Y) = 0

D²(X + Y) = D²X + D²Y

(Anmerkung: +2[E (XY) - EX EY] = cov (X, Y))

Beispiel: 2-dimensionale Normalverteilung, angegeben durch die Dichte

der Verteilung von (X, Y):

f(x,y) =

                                                         y

m_y

m_x x

cov (X, Y) = z s_xs_y , z(x, y) = z

X N(m_x, s_x , Y N(m_y, s_y

Folgen von Zufallsgrößen

Markovsche Ungleichungen:

Es sei X eine fast sicher nicht negative Zufallsgröße: P = 1, für die der Erwartungswert EX existiert. Dann gilt für jede Zahl t > 0 die Abkürzung:

P

Beweis:

X ist diskret: Einzelwahrscheinlichkeiten P (i = 0, 1, 2, )

EX = x_i P =

                              X sei fast sicher 0

EX t

P

X sei stetig: Dichte f_X(x) > 0

              EX = x f_X(x) dx = x f_X(x) dx = x f_X(x) dx + x f_X(x) dx

P = 0 0

x f_X(x) dx tf_X(x) dx = t P T Behauptung

Bemerkung: In dieser Ungleichung wird von der Verteilung von X lediglich der

Erwartungswert EX benutzt, daher ist die obige Abschätzung oft recht grob. Zu besseren Resultaten kommt man, wenn man auch die Summe D²X der Zufallsgrößen benutzen kann.

Tschebyscheffsche Ungleichung

Die Zufallsgröße X besitze Erwartungswert und Streuung.

Dann gilt für t > 0:

P

Beweis:            Unter Anwendung der Markovschen Ungleichung auf (X - EX)²,

t wird durch t² ersetzt:

P

Das Ereignis tritt genau dann ein,

wenn

t² dick gekennzeichnete Bereiche

auf der t-Achse entsprechen

genau dem markierten Bereich der

t²-Achse

t²

-t t t

Bemerkungen: Für t² D²X wird die Aussage dieser Ungleichung trivial, denn dann ist

³ 1.

Im Falle t = 3s = (den "Drei-Sigma-Grenzen") besagt die Tschebyscheffsche Ungleichung, daß für jede Zufallsgröße X - also für jede Verteilung - mit Existieren der Streuung gilt:

 

EX-3s EX EX+3s

P = 1 - P ³ 1 - = 1 - = 1 - =

(quantitativ wichtige Aussage)

Bemerkung: Wenn die Wahrscheinlichkeit = ist, liegt X im Intervall

[EX-3s, EX+3s].