Zufallsgrößen und deren Verteilung

Einführung: Bernoulli-Schema: (, M, P) Wahrscheinlichkeitsraum

zufälliges Ereignis A, P(A) = p, 0 < p < 1

Experiment wird n-mal unabhängig voneinander ausgeführt

A tritt ein: "Erfolg", - Alternative

Indikator bewertet, ob der k-te Versuch erfolgreich ist, d.h. ob A eintritt.

Folge "unabhängiger" vom Zufall abhängiger
Größen (k = 1, , n)

P(A)                

Wertebereich: R Verteilung

0 1

Die Größe X zählt die Anzahl der Erfolge bei Durchführung von n Versuchen:

Welche Werte kann X annehmen ?

1 2 . . . n - 1 n

Mit welchen Wahrscheinlichkeiten ?
Verteilung auf

Ereignis : A tritt in der Versuchsserie k-mal und n - k-mal nicht auf.

k-Erfolge

                            (*)

2 3 n - 1

Jede konkrete Folge (*) hat die Wahrscheinlichkeit .

Wieviele solcher Folgen gibt es ?           * * * k-Erfolge

k-mal "Erfolg" auf n Plätze verteilen.

1 2 . . . n - 1 n

Kombinatorische Standardaufgabe:
           

Verteilung von k Teilchen auf n Zellen

Teilchen nicht unterscheidbar

keine Mehrfachbelegungen

verschiedene Kombinationen

P = (k = 0, 1, , n)

Das ist die Verteilung der Anzahl der Erfolge:
"Binominalverteilung mit den Parametern n und p"

Versuchsserie: "Bernoulli-Schema"

"unabhängige Verteilung ein- und desselben Versuches"

Bemerkung: die Größen und X hängen vom Zufall ab.

ausführlich: () = ,

Spätere Definition solcher Größen als "Zufallsgrößen".

Bewertung des Punktes k entsprechend der Binominalverteilung:

             

0 k n

Parameter der Lage der Verteilung

anderer Parameter: charakterisiert die Streuung der Verteilung

mittlere quadratische Abweichung

Mittelwert

Konstruktion X:

0 n

Was passiert bei wachsendem n ?

Trick: Größe X_n zentrieren und normieren, d.h. .

Dann gilt der Grenzwertsatz von de MOIRE-LAPLACE

, x₁ < x₂ I R

praktische Bedeutung:

n groß, nicht Einzelwahrscheinlichkeiten P, sondern P seien
interessant (a, b I R)



Uneigentliches Integral:

, x I R

Integral interessiert, es gilt sogar


Funktion F vertafelt oder im Computer

Beispiel: Produktion von Glühlämpchen

Kartons zu je 1000 Stück
Erfahrungstatsache: Ausschuß im Mittel 3% (vage) Erwartung,

pro Karton 30 Lämpchen defekt.

Realisierbare Frage: Wahrscheinlichkeit dafür, daß 20 bis 40 Lämpchen defekt sind.

Modell: X (zufällige) Anzahl defekter Lämpchen in einem

"auf gut Glück" gewähltem Karton mit 1000 Lämpchen.

X ist binominalverteilt mit den Parametern n = 1000 und p = 0,03

Mittel: n · p = 1000 * 0.03 = 30

mittlere quadratische Abweichung:

n · p · q = 1000 * 0.03 * (1 - 0.03) = 29.1

gesuchte Wahrscheinlichkeit:

P=

zu kompliziert

Näherung

2. Das Integral F besitzt eine Dichte:

F(x) + F(-x) = 1

F(x) - F(-x) = F(x) - (1-F(x) = 2F(x) - 1

Die Funktion definiert die Verteilung einer (stetigen) zufälligen Größe Y, die Werte aus ganz R annehmen kann, es gilt:

P = F(x), x I R

es gilt außerdem: P = F(b) - F(a) , a < b

Die Größe Y heißt normalverteilt, genauer standard-normal-verteilt nach N(0, 1).

Zufallsgrößen, Verteilungen

vorgegeben: Wahrscheinlichkeitsraum (W, M, P)

Definition: Eine reellwertige Funktion X auf W  w X(w) (w I W)

heißt Zufallsgröße, falls für jede reelle Zahl x gilt:

I M (*)

W

X

                w     

                                                                                                       X(w) R

Urbild von (- , x)

Bemerkungen:

Den Regeln der s-Algebra folgend sind dann auch Mengen der Gestalt:
=

Die Bedingung (*) genannt "Meßbarkeit von X" ist technischer Natur; sie sichert, daß alle Mengen , , Ereignisse sind, für die folgende Wahrscheinlichkeiten gebildet werden können:

w: X(w) < x}, P

üblicherweise schreibt man kurz:
, und P, P ,

(M)

P

P

P(G)

                           

              G X

              GIM (M) G

(W, M, P) [ )

P_x (R¹, L¹)

Mittels der Abbildung X wird in der s-Algebra L¹ der Borel-Mengen von R¹ das Bildmaß P_x von P definiert:

P_x(G) := P

Definition: Das Maß P_x heißt Verteilung, auch Wahrscheinlichkeitsverteilung von

X auf (R¹, L¹).

Dieses Maß regelt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsgröße X bei einer Realisierung einen Wert aus einer gegebenen Borel-Menge annimmt:

P_x([x₁, x₂)) = P

Wir unterscheiden 2 Spezialfälle:

Definition: Die Zufallsgröße X heißt diskret, wenn sie nur endlich oder abzählbar

unendlich viele Werte annehmen kann. Es gilt dann:

P = P

  R¹

Beispiel: Binominalverteilte Zufallsgröße mit Parametern (n, p) nimmt

ausschließlich Werte in an.

Definition: Die Zufallsgröße X heißt stetig, wenn ihre

Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Dichte p ³ 0 besitzt, so daß

P = (x₁ < x₂ I R) gilt.

Folgerung: P = P =

 P(x)

x x + Dx x

P = p(x) · Dx + o(Dx)

Beispiel: standardnormalverteilte Zufallsgröße X, andere Verteilung

konstruieren: Zufallsgröße X ³ 0

Beispiel: X Zeit des Eintretens irgendeines Ereignisses;

(Lebensdauer, Zerfallszeit)

s

                                       

Zeit

0 t t + s

Angenommen                           Frage:               ?

Zufallsgröße X sei "gedächtnislos", falls P = P (s, t 0) gilt.

Funktionalitätsgleichung: [Y(t + s) = Y(t) · Y(s)]

gesucht: beschränkte Lösung P = e^-lt (t 0)

Komplement bilden:

Zufallsgröße mit dieser Verteilung heißt expotentiell verteilt mit dem Parameter l > 0.

P =

Zufallsgröße X hat eine Dichte:

Also:    P = , t I R

Sei X_n binominalverteilte Zufallsgröße mit den Parametern n und p:

P = (k = 0, 1, , n)

Problem: p werde klein mittlere Zahl der Erfolge klein, läßt man simultan n

wachsen, dann ist der Mittelwert trotzdem bedeutend.

Ansatz: n · p = l; l > 0 konstant.

Was passiert für n ?

k = konstant:

P =

(Grenzwertsatz)

Wegen ist damit eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf erklärt.

Definition: Eine Zufallsgröße X mit P = (k= 0, 1, ) heißt

POISSON-verteilt mit dem Parameter l > 0.

Modell:            radioaktiver Zerfall

Radium                                                               Radon

a - Teilchen (He-Kern)

Im Zeitintervall der Länge t zerfällt das Radiumatom mit Wahrscheinlichkeit p(t).

n Radiumabnahme

Abstand sehr groß, Zerfall eines Kerns erfolgt unabhängig von allen anderen.

Mittlere Zahl der ausgesandten a - Teilchen während t: a(t) = n · p(t)

Experimentelle Erfahrungen (Messungen) für t = 1s und n = 10²² (= 19 Radien):

a(t) » 10¹⁰ p(t) 10^-12 (also sehr klein)

Versuch: Beobachtungen eines dieser Atome

Erfolg: Zerfall während 1s

gleichzeitig laufen also 10²² solcher Versuche ab.

Voraussetzungen des Bernoullischema erfüllt.

Zerfallsgröße X(t): Anzahl der während t ausgesandten a-Teilchen.

n sehr groß, p sehr klein annähernd POISSON-verteilt mit Parameter l = n · p.

P = ; (k= 0, 1, ) mit t = 1s

Verallgemeinerung des Begriffes der Zufallsgröße:

Definition: Es seien x₁, x₂, , x_n Zufallsgrößen auf ein- und demselben

Wahrscheinlichkeitsraum (W, M, P).

Dann heißt das n-Tupel = (X₁, X₂, , X_n) ein Zufallsvektor.

Bemerkungen: zufällige Vektoren sind Vektoren, deren Komponenten Zufallsgrößen

sind. Man kann X als (meßbare) Abbildung von W in den Raum Rⁿ auffassen.

Die Verteilung von ist das Bildmaß von P in der s-Algebra der Borelmengen Lⁿ von Rⁿ.

(B) = P = P        B I L¹

Beispiele für Zufallsvektoren:

simultane Messung verschiedener Größen bei einem Experiment. (p-V-Diagramm,
Körpergröße eines Menschen, Dimension eines Werkstückes)

Definition: Ein Zufallsvektor = (X₁, X₂, , X_n) heißt diskret, wenn er höchstens

abzählbar viele verschiedene Werte = (X₁, X₂, , X_n) I Rⁿ annehmen kann.

Definition: Der Zufallsvektor heißt stetig, wenn seine Verteilung eine Dichte

p(x₁, x₂, , x_n) ³ 0 besitzt:

P = p(x₁, x₂, , x_n) dx₁dx₂ dx_n B I Lⁿ

X₁, X₂, , X_n, höchstens abzählbar viele Zufallsgrößen auf (W, M, P)

Definition: Die Zufallsgrößen X₁, X₂, , X_n, heißen unabhängig, falls für

beliebige Zahlen x_k´ x_k´´ die Ereignisse

k = 1, 2, , n,

vollständig unabhängig sind.

Folgerungen:

Bei diskreten unabhängigen Zufallsgrößen X₁, X₂, , X_n gilt für die (gemeinsame) Verteilung von = (X₁, X₂, , X_n):
P = P · P · · P(X_n = x_n}, (x₁, x₂, , x_n) I Rⁿ.

Bei stetigen unabhängigen Zufallsgrößen X₁, X₂, , X_n mit den Dichten p₁, p₂, , p_n gilt für die (gemeinsame) Dichte des zufälligen Vektors = (X₁, X₂, , X_n):

p(x₁, x₂, , x_n) = p₁(x₁) · p₂(x₂) · · p_n(x_n) mit (x₁, x₂, , x_n) I Rⁿ.

Funktionen von Zufallsgrößen

X sei Zufallsgröße auf (W, M, P), g ist reelle Funktion g: .

Unter ganz schwachen Voraussetzungen (Meßbarkeit muß gesichert sein) ist dann auch die durch w g(X(w)), w I W definierte Abbildung eine Zufallsgröße.

Analoges gilt für einen Zufallsvektor (X₁, X₂, , X_n) und die Funktion h: Rⁿ R¹.
Y = h(X₁, X₂, , X_n) ist dann Zufallsgröße auf (W, M, P).

Charakterisierung von Zufallsgrößen und Vektoren

X sei Zufallsgröße auf (W, M, P)
wichtigste Charakteristik von X: Verteilung P_X (aber oft "unhandlich")

Definition: Die durch F_X (x) = P , x I R definierte Funktion heißt

Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X.

Bemerkung: Die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X charakterisiert die Verteilung einer

Zufallsgröße vollständig, es gilt:

P = F_X (x₂) - F_X(x₁)

Beispiel:

Standard-Normalverteilung N(0, 1) y

F_X = F (x) = , x I R x

Binominalverteilung mit Parametern n, p

F_X(x) =

   1 F_X(x)

 

n x

Eigenschaften einer Verteilungsfunktion FX

0 F_X(x) 1, x I R

F_X monoton wachsend x₁ x₂ F(x₁) F(x₂)

F_X linksseitig stetig , x I R

,

Bemerkung: Diese Eigenschaften sind sogar charakterisierend, d.h. jede Funktion F

mit diesen Eigenschaften 1 - 4 ist Verteilungsfunktion einer gewissen Zufallsgröße X.

Verteilungsfunktion enthält volle Information über die Verteilung, aber kompliziert und schwierig zu bestimmen (bei Zufallsgrößen mit a priori unbekannter Verteilung)

Wunsch nach Informationsverdichtung

Beispiel: (Gleichverteilung)

Die diskrete Zufallsgröße X mit den Werten x₁, x₂, , x_n heißt gleichverteilt, falls gilt:

P = (i = 1, 2, , n)

                                1

                            x₁ x₂ x_n

Analog gilt für die Dichte einer stetigen Gleichverteilung auf dem Intervall [a, b] Ì R:

1 F_X(x)

p(x) =

0 a b

Mittelmarke für X: X diskret: arithmetisches Mittel =

X stetig: Intervallmitte =

Verallgemeinerung für diese Mittelungen für beliebige diskrete und stetige Zufallsgrößen X?

Erwartungswert

Definition: Es sei X eine diskrete Zufallsgröße mit den Werten x_k , k = 1,2,

Dann heißt die durch

EX =

definierte Zahl der Erwartungswert der Zufallsgröße X. Dabei wird der Eindeutigkeit wegen die absolute Konvergenz obiger Reihe vorausgesetzt:

Definition: Für eine stetige Zufallsgröße X definieren wir EX = als

Erwartungswert. Es wird wieder die absolute Konvergenz vorausgesetzt: .

EX = P (diskret)
absolut konvergent

EX = p(x) dx (stetig)

Bemerkungen: Der Begriff des Erwartungswertes kommt unserer anschaulichen

Vorstellung eines Mittels (Mittelung) sehr nahe. Deutet man eine diskrete oder stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung als Massenverteilung eines diskret oder stetig verteilten mechanischen Systems auf der Achse, so ist EX der Schwerpunkt des Systems (im physikalischen Sinne).

Es gibt aber auch andere Methoden zu Mitteln (Median, Zentralwert)

Beispiele:

Poisson-Verteilung EX =
=

Parameter der Poisson-Verteilung ist in diesem Falle = Erwartungswert derselben, vorteilhaft für statistische Untersuchungen.

Expotentialverteilung EX =

Eigenschaften des Erwartungswertes

Linearität E(aX + bY) = aEX + bEY

Funktion einer Zufallsgröße g(X)
X diskret:        Eg(X) = g(x_k) P
X stetig:           Eg(X) =
absolute Konvergenz der rechten Seite jeweils vorausgesetzt.

Der Erwartungswert charakterisiert die Lage des Zentrums einer Verteilung (Lageparameter); über die Stärke möglicher Abweichungen der Zufallsgröße vom Zentrum gibt er keine Auskunft.

Wunsch nach einem Maß für die "Streuung"

Definition: Es sei X eine Zufallsgröße mit dem Erwartungswert EX.

Dann wird im Falle der Existenz durch D²X = E(X - EX)²

die Streuung (oder Varianz) der Zufallsgröße X definiert.

Speziell gilt:

X diskret:        D²X = (x_k - EX)² P
p(x)

X stetig:           D²X = (x - EX)² p(x) dx ^{x x+dx}

denn D²X wird über die Funktion g(X) = (X - EX)² von X bestimmt.

Bemerkung: Auch die Streuung gestattet eine mechanische Interpretation.

Veranschaulicht man sich die Verteilung als diskretes oder stetiges Massensystem auf der Achse mit dem Schwerpunkt EX, so entspricht D²X dem Trägheitsmoment dieses Systems bezüglich einer Achse durch        den Schwerpunkt. (Existenz jeweils vorausgesetzt).

Eigenschaften der Streuung

D²(aX + b) = a²D²X

Beweis: D²(aX + b) = E[(aX + b) - E(aX + b)]² = E[a(X - EX) + (b - Eb)]²
= E[a² (X - EX)²] = a² D²X

Folgerung: D² (-X) = D²X
D²= 1 (Normieren, Standardisieren von X)

Annahme: X einpunktverteilt:

P = 1 c feste reelle Zahl

X = c fast sicher, EX = c

Die Streuung einer Zufallsgröße X ist genau dann Null, wenn X einpunktverteilt ist.

D²X = EX² - (EX)²

Beweis: D²X = E(X - EX)² = E[X² - 2X EX + (EX)²] = EX² - 2EX (EX) + (EX)²
= EX² - (EX)²

Diese Aussage ist mit dem Steinerschen Satz äquivalent:

EX² = D²X + (EX)²


Trägheitsmoment bzgl. d. Trägheitsmoment bzgl. d. Abstandsquadrat:
Achse durch 0 Achse durch Schwerpunkt Schwerpunkt-Nullpunkt

D² (X+Y) = D²X + D²Y + 2[E (XY) - (EX) (EY)]

Beispiele:

X ist Poisson-verteilt mit Parameter l > 0
= g(x_k) P = k² P = k²
= l= l[k P + P] = l[EX + 1]
= l (l+1)

Steinerscher Satz D²X = EX² -(EX)² = l(l+1) - l = l

X ist expotentialverteilt mit Parameter l > 0
EX² = x² p(x) dx = x²le^-lx dx = 2 mal partiell integriert =
D²X = EX² - (EX)² = - =

Normalverteilung

Y sei eine standardnormalverteilte Zufallsgröße

EY = 0, D²Y = 1 (Streuung)

kurz: N (0, 1)

X = sY + m - lineare Transformation von Y; s > 0, m I R

F_X(x) = P = P = P
= F_Y () = F () = =

Definition: Eine Zufallsgröße X mit dieser Verteilungsfunktion F_X heißt

normalverteilt mit den Parametern s > 0, m I R oder N(m, s ) verteilt.

Bedeutung der Parameter:

EX = E(sY + m) = s + m  = m
D²X = D²(sY + m) = s = s

Faltung zweier Verteilungen

X, Y seien Zufallsgrößen auf (W, M, P)

g: R² à R Funktion, (Meßbarkeit sei gesichert) neue Zufallsgröße: Z = g(X, Y)

Verteilung von Z ?

speziell: X, Y seien disjunkt mit Werten x_i, y_k ; (i, k = 0, 1, )

P = z I R

Summiert wird also über disjunkte Indizes i, k für die g(x_i, y_k) = z.

Existieren keine solchen Werte x_i, y_k, so ist die Summe gleich Null.

Zur Berechnung von P muß man also i. a. die gemeinsame Verteilung von X und Y kennen.

noch spezieller: Summe von X und Y

P =

Übung: X, Y Poisson-verteilt Speziell X, Y mit Werten 0, 1, 2,

P = = (X, Y unabhängig)

=

nennt man "Faltung der Verteilung von X und Y !!"

Ziel: Übertragung der Methode auf stetige Zufallsgrößen X, Y mit der

gemeinsamen Dichte f_X,Y

gesucht: Z = X + Y stetig ? , Dichte f_Z ?
z I R: f_Z(z) = P = P =

Doppelintegral, Integrationsgebiet

B =

y

             

                                             z

                                   y = z - x x + y = z

                              x z x x

y = z - x

= (Integral iterieren) == (Substitution im inneren Integral)

Substitution: z = x + y, y = z - x

dy = dz
y = - z = -
y = z - x z = x + y = x + (z - x) = z

=

Ziel: Funktion von z à Integralreihenfolgetausch
=

Dichte für f_Z(z) : f_Z (z)

Dichte für Z = X + Y

f_Z(z) = ; z I R

Damit ist Z = X + Y eine stetige Zufallsgröße

speziell: Annahme: X und Y unabhängig

f_X,Y(x,y) = f_X(x) * f_Y(y) (x, y I R)
f_Z(z) =

"Faltungsformel" für die Dichte f_X und f_Y (bei Unabhängigkeit)
f_Z(z) = ; z I R

Bemerkung: Durch Vertauschen der Rolle von x und y in den obigen Überlegungen

beweist man die Formel:

f_Z(z) = ; z I R

weitere Aussagen über unabhängige Zufallsgrößen X und Y:

EXY = EX EY

f, g reelle Funktionen, X,Y unabhängig T f(X), g(X) unabhängig

Momente einer Zufallsgröße

X - Zufallsgröße

Definition: Im Falle der Existenz heißt m_k = EX^k (k = 1, 2, ) das k-te Moment der

Zufallsgröße X.

allgemein: m_k = E(x - c)^k    (k = 1, 2, )
heißt k-tes Moment von X bezüglich c I R

Momente sind sowohl theoretisch (Momentenproblem) als auch praktisch (Statistik) bedeutsam.

Charakteristische Funktionen

Vorbemerkung: komplexe Zufallsgröße

X, Y (reelle) Zufallsgrößen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (W, M, P)

Z = X + iY komplexe Zufallsgröße auf (W, M, P)

Meßbarkeit überträgt sich

Verteilung von Z kann durch die gemeinsame Verteilung von X, Y charakterisiert werden

Erwartungswert von Z: formal summieren EZ = EX + iEY

Z_j = X_j + iY_j (j = 1, 2)
Z₁, Z₂ unabhängig: (X₁, Y₁ unabhängig von X₂, Y₂)

Betrag Anmerkung:

Darstellung komplexer Zahlen (Wdh.)

y z

algebraische Form:

z = x + iy _x

                                                                                                                               

trigonometrische Form: ^y _r ^z

z = r(cos z + i sin z) ^z

^x

Expotentialform:

z = r e^iz

Definition: Sei X eine (reelle) Zufallsgröße auf dem

Wahrscheinlichkeitsraum (W, M, P). Dann bezeichnen wir die Abbildung t z_X(t) := E(e^itX), - < t < als charakteristische Funktion der Zufallsgröße X oder der Verteilung von X.

Bemerkung: Aufgrund von |e^itx| = 1 ist obiger Ausdruck absolut und gleichmäßig in t

konvergent. Zu jeder Zufallsgröße X existiert also die charakteristische Funktion z_X(t).

X diskrete Zufallsgröße:

z(t) = E (e^itX) , t I R

(absolute Konvergenz)

Beispiel: X sei zweipunktverteilt

P = P =

z(t) = e^-it1*+ e^it1 = = cos t

X stetig:

Verteilung von X besitzt Dichte f_X

z(t) = E( e^itX) = , t I R

Konvergenz:    

(absolut konvergent und gleichmäßig in t)

X stetig: Verteilung von X besteht aus Dichte f_X

                        j(t) = E (e^itX) = e^itX f_X(x) dx , t I R

g(x) = e^itx

Konvergenz:   |e^itx| f_X(x) dx = f_X(x) dx = 1

Beispiel: X auf [0, 1] gleichmäßig verteilt:

Dichte f_X(x) =

j(t) = e^itx f_X(x) dx = e^itx *1 dx = , t I R

Eigenschaften charakteristischer Funktionen

j(0) = E e^itX = E e⁰ = e⁰ = 1

|j(t)| = |E (e^itX)| |E^itX| = E*1 = 1 (qualitative Aussage)

j(-t) = t I R (konjugiert komplex)

[jede charakteristische Funktion erfüllt (notwendigerweise) diese Bedingungen; sie sind indessen nicht hinreichend]

lineare Transformation von X:

Zufallsgröße Y =aX + b charakteristische Funktion ?

j_Y(t) = E (e^itY) = E (e^{it(aX + b)}) = E(e^itb e^itaX) = e^itb E(e^itaX) = e^itbj_X(at) , t I R¹

Multiplikationssatz:

X, Y seien zwei unabhängige Zufallsgrößen

charakteristische Funktion der Summe Z = X + Y ?

j_Z(t) = E (e^itZ) = E (e^{it(X + Y)}) = E (e^itX e^itY) = (unter der Voraussetzung, daß X und Y unabhängig sind) = E (e^itX) E (e^itY) = j_X (t) * j_Y (t) , t I R

Satz: Die charakteristische Funktion der Summe endlich vieler vollständig

unabhängiger   Zufallsgrößen ist gleich dem Produkt der charakteristischen Funktionen dieser Zufallsgrößen.

Beispiel: X sei Poisson-verteilt mit Parameter l > 0

j_X(t) = E (e^itX) =e^itk P = e^itke^-l = e^-l

= ,t I R

Y sei Poisson-verteilt mit Parameter m > 0 und unabhängig von X.

Wie ist Z = X + Y verteilt ?

j_Z(t) = j_X(t) j _Y(t) = = exp[l(e^it-1) + m(e^it-1)] = exp [(l+m) (e^it-1)]

charakteristische Funktion einer Poissonverteilung mit Parametern l + m

Bemerkung: Falls j_Z die Verteilung von Z, eindeutig charakterisiert, so ist Z

Poisson-Verteilt mit dem Parameter l + m..

Eindeutigkeitssatz: Jede Verteilung ist durch ihre charakteristische Funktion

eindeutig bestimmt.

Erzeugung der Momente einer Zufallsgröße

Besitzt die Zufallsgröße X das Moment k-ter Ordnung m_k = EX^k, so existiert die k-te Ableitung von j_X und es gilt:

m_k =

Charakteristiken im 2-dimensionalen

Zufallsvektor (X, Y) auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (W, M , P)

[P_(X,Y) (B) = P = P, B I L²]

Informationsverdichtung: Erwartungswert, Streuung (Varianz) verallgemeinern.

Erwartungsvektor:      (EX, EY) ^y

(EX, EY)

_x

Varianz verallgemeinern:

zwei Zufallsgrößen X, Y aus D²X, D²Y aber auch Abhängigkeiten zwischen X und Y berücksichtigen.