Referat Ganzrationale funktionen - gebrochenrationale funktionen

GANZRATIONALE FUNKTIONEN GEBROCHENRATIONALE FUNKTIONEN Definitionsbereich Ganz 3

Die Funktion ist auch stetig und differenzierbar auf ganz 3. 3 ohne die

Nullstellen des Nenners.

Symmetrie Über f(-x) oder: nur gerade Exponenten ?achsensymmetrisch nur ungerade Exponenten ? punktsymmetrisch zum Ursprung Nur über f(-x) ! Nie mit geraden oder ungeraden Exponenten !

f(-x)=f(x) ? symmetrisch zur y-Achse

f(-x) = -f(x) ? symmetrisch zum Ursprung

Asymptoten    Existieren nicht.Pole bei den Nullstellen des Nenners

(Zähler ? o)

Z = N ? waagrechte Asymptote

Z < N ? y = 0

Z = N+1 ? schiefe Asymptote

Nullstellen      Bei Grad n existieren höchstens n Nullstellen. Z = 0 und N ? 0 ? Nullstelle

Z = 0 und N = 0 ? Lücke

Z ? 0 und N = 0 ? Pol

Zähler Grad n ? maximal n Nullstellen

Extrema          Bei Grad n existieren höchstens n-1 Extrema.            Bei Nennergrad n und

Zählergrad m existieren höchstens n+m-1 Extremstellen!

f'(x) < 0 Gf ist stetig monoton fallend

f'(x) > 0 Gf ist streng monoton steigend

f'(x) = 0 mit VZW von + nach - ? lokaler HP

f'(x) = 0 mit VZW von - nach + ? lokaler TP

Wendepunkte Bei Grad n existieren höchstens n-2 Wendepunkte.           Bei

Nennergrad n und Zählergrad m existieren höchstens n+2m-2 Wendepunkte!

f''(x) < 0 Gf hat eine Rechtskrümmung f''(x) > 0 Gf hat eine Linkskrümmung

f''(x) = 0 mit VZW ? Wendepunkt