x² = -1

x² = (-1)

x₁₂ = ± -1)

x² = -4

x² = 4(-1)

x₁₂ = ± 2 -1)

x² = -¾

x² = ¾(-1)

x₁₂ = ± ¾ -1)

x² = -a a  R⁺; a > 0

x² = a(-1)

x₁₂ = ± a -1)

L =

L =

L =

L =

D = 0 L =

D < 0

b² - 4ac) = (4ac - b²) -1)

< 0 > 0 i

L =

Allgem. Komplexe Zahl:

z = a + b i

a Realteil Re_(z)

b Imaginärteil Im_(z)

z = Re_(z) + Im_(z) i

Spezialfälle:

b = 0    z = a + 0i = a reelle Zahl  R R  C

a = 0    z = 0 + bi = bi imaginäre Zahl  C Im  C

Jede reelle Zahl lässt sich als komplexe Zahl schreiben.

Gleichheit von komplexen Zahlen:

z₁ = a + bi

z₂ = c + di

z₁ = z₂ (a = c) (b = d)

Koeffizientenvergleich:

Zwei komplexe Zahlen sind gleich,

wenn sowohl ihre Realteile als auch ihre Imaginärteile übereinstimmen.

Rechenregeln

z₁ = a + bi z₂ = c + di

Addition:

z₁ + z₂ = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i  C

 R  R

Subtraktion:

z₁ + z₂ = (a - c) + (b - d)i

Multiplikation:

z₁  z₂ = (a + bi)  ( c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (bc + ad)i

Division:

 C

Re_(z) Im_(z)

c² + d² > 0; sonst c = 0, d = 0 z₂ = 0

Potenzen von i:

i¹ = i i⁵ = i

i² = -1 i⁶ = -1

i³ = i² i = (-1) i = -i :

i⁴ = i² i² = 1 :

Konjugiert komplexe Zahlen:

z = a + bi

= a - bi konjugiert komplexe Zahl zu z [z quer]

Eigenschaften von konjugiert komplexen Zahlen:

= z

z + = 2a  R

z - = 2bi  Im

z  = (a + bi) (a - bi) = a² + b²  R

umgekehrt:

a² + b² in C zerlegbar, in R nicht!

Satz von VIETA gilt auch für komplexe Zahlen:

z² + pz + q = 0 p, q I C mit Lösungen z₁, z₂

z₁ + z₂ = -p

z₁  z₂ = q

z² + pz + q = (z - z₁) (z - z₂)

Spezialfall:

NUR wenn p UND q  R z₁, z₂ konjugiert komplex

GAUSSsche Zahlenebene

z = 4 + 2i

Jede komplexe Zahl lässt sich eindeutig als Punkt (=Ortsvektor) in der GAUSSschen Zahlenebene darstellen.

|z| Länge des Vektors

|z| = (a² + b²) = r I R Radius der komplexen Zahl = Abstand vom Ursprung (0|0i)

auch Nm_(z) = |z|² = a² + b² = r² [Norm von z]

|z|² = |z²|

Darstellungsmöglichkeiten

Kartesische Darstellung:

geordnetes Zahlenpaar (a ; b)

Binominalform z = a + bi

Polarkoordinatendarstellung:

geordnetes Zahlenpaare (r ; )

r |z|  0  R₀⁺ Betrag von z

0°   < 360° Argument von z

Hauptwert

Trigonometrische Form z = r (cos + i sin)

Zusammenhang:

r = (a² + b²)

tan  =

cos  = a = r cos

sin  = b = r sin

Multiplikation und Division komplexer Zahlen mit Hilfe von Polarkoordinaten:

z₁ = r₁ (cos j + i sin j

z₂ = r₂ (cos j + i sin j

Multiplikation:

z₁  z₂ = r₁ (cos j + i sin j )  r₂ (cos j + i sin j

= r₁ r₂ (cos j cos j - sin j sin j + cos j sin j i + cos j sin j i) =

= r₁ r₂ [(cos j cos j - sin j sin j ) + i (cos j sin j + cos j sin j

= r₁ r₂ [ cos (j + j ) + i sin (j + j

z₁  z₂ = r₁ r₂ [ cos (j + j ) + i sin (j + j )] = (r1 r2 ; j + j

Beim Multiplizieren von komplexen Zahlen werden die Radien multipliziert

und die Argumente = Winkel addiert.

Division:

z₁ : z₂      =

Beim Dividieren von komplexen Zahlen werden die Radien dividiert

und die Argumente = Winkel subtrahiert.

Graphisches Rechnen

Winkel von z₁ und z₂ addieren

Spitze von z₁ mit Einheitspunkt E verbinden

Winkel  bei Einheitspunkt E bei Spitze von z₂ abtragen

Beweis

D0Ez₁ D0 z₂ z₁z₂ Strahlensatz gilt

B B B B

0E : 0z₁ = 0z₂ : 0z₁z₂

1 : r₁ = r₂ : r₁r₂

r₁r₂ = r₁r₂ wzbw

Winkel von z₂ vom Winkel von z₁ subtrahieren

Spitze von z₁ mit Spitze von z₂ verbinden

Winkel  bei Spitze von z₂ bei Einheitspunkt E abtragen

Beweis:

Probe: z₂  = z₁

Potenzieren

z = r (cos j + i sin j) n  R

zⁿ = [r (cos j + i sin j)]ⁿ = rⁿ (cos j + i sin j)ⁿ

zⁿ = rⁿ [cos j + j + j + + i sin j + j + j +] = rⁿ (cos n j + i sin n j)

 (cos j + i sin j)ⁿ = cos n j + i sin n j

Formel von DE MOIVRE

Radizieren (Wurzelziehen)

Definition:

 I C heißt n-te Wurzel aus z I C [Zeta]

z  = ⁿ z , wenn zⁿ = z

n I N

Beispiel:

mit Binomialform:

[2i] = a+bi | ²

2i = a² + 2abi + b²i²

0 + 2i = (a² - b²) + 2abi Koeffizientenvergleich

 0 = a² - b² 2 = 2ab

1 = ab

b =

0 = a² - |  a²

a⁴ = 1 | 

a² = ± 1 a muss reell sein! -1 keine Lösung

mit Polarkoordinaten:

geg.: z = (r ; ) r  R⁺; 0   < 2 (Hauptwert)

ges.: z = z = ( ; )

( ; ) = (r ; ) | ²

( ; )² = (r ; )

(² ; 2) = (r ; )

² = r 2 =  2 =  + 360°

 = r  =  = + 180°

(ⁿ r ; + (k - 1)) k = 1, 2, 3, , n

Eine Wurzel aus einer komplexen Zahl ist wieder eine komplexe Zahl.

Exponentialform

cos j + i sin j = e^ij

EULERsche Formel

Beispiel:

z = r  e^ij

e^2pi

cos 2p + i sin 2p  = 1

1 + i  0 = 1

e^(p/2)i = i

cos + i sin = i

0 + i  1 = i

iⁱ = (e^(p/2)i)ⁱ = e^(p/2)i² = e^(-p = 1/[e^(p ] = 0,207879576351  R!

ⁱi = (e^(p/2)i)^(i/2) = e^(p = e^ = 4,810477381

a = e ^{ln a}

Beweis:

a = e ^{ln a} | ln

ln a = (ln a) (ln e)

ln a = ln a

allgem.:

^xlog a

a = x

Beispiel:

2ⁱ = (e^ln2)ⁱ = cos ln2 + i sin ln2 = cos 0,693147181 + i sin 0,693147181 =

= 0,769238901 + i 0,638961276

Radianten!

Komplexe Zahlen

als nichtgeordneter Körper

R ist geordnet, da a, b I R gilt: a < b oder

a = b oder

a > b

C ist nicht geordnet, da z₁, z₂ I C gilt: z₁ = z₂ oder

z₁ z₂

Beispiel:                i, 2i

"=" i = 2i | -i

0 = i

reell nicht reell

 R  R f.A.

"<"         i < 2i | -i

0 < i

i > 0 | (i > 0)

i² > 0

-1 > 0 f.A. indirekter Beweis

">"         i > 2i | -i

0 > i

i < 0 | (i < 0)

i² > 0

-1 > 0 f.A.

 Es ist sinnlos, bei komplexen Zahlen von > oder < zu sprechen; nur = oder !

 C ist nicht geordnet

C ist ein Körper:

(C;+) abelsche (=kommutative) Gruppe [C bezüglich plus]

Abgeschlossenheit

z₁ + z₂ = z₃  C

Assoziativgesetz (AG)

(z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)

neutrales Element n

z I C n I C

z + n = n + z = z

n = 0 = 0 + 0i I C

inverses Element z*

z I C z* I C

z + z* = z* + z = n = 0

z* = -z I C

 Gruppe

Kommutativgesetz (KG)

z₁ + z₂ = z₂ + z₁

(C; ) abelsche Gruppe [C bezüglich mal]

Abgeschlossenheit

z₁  z₂ = z₃ z₃ 0

Assoziativgesetz (AG)

(z₁  z₂)  z₃ = z₁  (z₂  z₃)

neutrales Element n₁

z I C n₁ I C

z  n₁ = n₁  z = z

n₁ = 1 = 1 + 0i I C

inverses Element z*

z I C z* I C

z  z* = z*  z = n₁ = 1

z  z* = 1 | :z 0

z* = 1/z = 1/(a + bi)

 Gruppe

Kommutativgesetz (KG)

z₁  z₂ = z₂  z₁

Distributivgesetz (DG)

(z₁ + z₂) z₃ = z₁ z₃ + z₂ z₃

z₁ (z₂ + z₃) = z₁ z₂ + z₁ z₃

ERST wenn 1), 2) und 3) erfüllt sind, spricht man von einem Körper.

C ist ein nicht geordneter Körper

Berechne (-½ - i) auf 2 verschiedene Arten

Berechne (-½ - i) auf zwei Arten und zeige, dass eine Lösung eine dritte Einheitswurzel ist.

Kartesische Darstellung:

(-½ - i) = a + bi | ²

(-½ - i) = a² + 2abi - b²

-½ = a² - b² -) = 2ab

a = -

-½ = - b² | 16b²

-8b² = 3 - 16b⁴

16b⁴ - 8b² - 3 = 0 b² = u

16u² - 8u - 3 = 0

u₁₂ =

u₁ = 24/32 = ¾ b₁₂ = a₁₂ = = ½

u₂ = -8/32 = -¼ b₃₄ = R

L =

Polarkoordinatendarstellung:

r = (a² + b²) = (¼ + ¾) = 1 = 1

tan  = = -:(-½) = 3

j  = arctan 3 = 240°

(-½ - i) = [(1;240°)] = ( 1; 240°/2) = (1;120°) = -½ + i

[(1;240°)] = ( 1; [240°+360°]/2) = ( 1; 600°/2) = (1;300°) = ½ - i

L =

Dritte Einheitswurzel:

z³ - 1 = (z - 1) (z² + z + 1) = 0

z₁ = 1

z² + z + 1 = 0

z₂₃ = -½ (¼ - 1) = -½ (-¾) = -½ i

z₂ = -½ + i

z₃ = -½ - i

L =

Berechne 9z² - 18(1+i)z + 2(16+21i) = 0

9z² - 18(1 + i)z + 2(16 + 21i) = 0 G = C

L =

Polinome

Definition

Eine Linearkombination der Form

      _n

P_n(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + a_n-2 x^n-2 + + a₁ x + a₀ = a a_i xⁱ

ⁱ⁼⁰

(wobei a_i I C und a_n 0) heißt Polynom n-ten Grades über der Menge C in 1 Variable.

n Grad des Polynoms

a_i Koeffizienten

a₀ konstantes Glied

Jedes Polynom ist eine zusammenhängende Kurve (keine Sprungstellen!)

Beispiel:

4x² + 23x - 7 Polynom 2. Grades über Z

3 x⁷ - (4 + 3i) x⁴ + 2 Polynom 7. Grades über C

x³ + x KEIN Polynom

2x + KEIN Polynom

HORNERsches Verfahren

P_3(x) = a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + a₀

Beweis:

P_3(x) = a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + a₀ =

= (a₃ x³ + a₂ x² + a₁) x + a₀ =

= [(a₃ x³ + a₂ x) x + a₁] x + a₀ =

Beispiel:

P_4(x) = 5x⁴ - x³ + 3x + 4 über Z

P₄₍₂₎ = 5  2⁴ - 2³ + 3  2 + 4 = 5  16 - 8 + 6 +4 = 82

P_4(-3) = 5  (-3)⁴ - (-3)³ + 3  (-3) + 4 = 5  81 + 27 - 9 +4 = 427

Beispiel:

P_3(z) = z³ - 2z² + z - 3

P_3(2+i) = -5 + 4i

P_3(2-i) = -5 - 4i

allgemein:

d

P₍₎ = P_(z) , NUR wenn a_i I R!

Nullstellen

Polynom

P_n(a) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + a_n-2 x^n-2 + + a₂x² + a₁x + a ₀

Polynomfunktion:

y = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + a_n-2 x^n-2 + + a₂x² + a₁x + a ₀

Wertetabelle Graph ermittelbar

Nullstellen ermitteln:

rechnerisch: Ausdruck gleich Null setzen

graphisch: wo Graph x-Achse schneidet

Eine Zahl a   C heißt Nullstelle von P_n(a) , wenn P_n(a)

Beispiel:

P_4(x) = 4x⁴ - 79x² - 20 ist 2 5 Nullstelle?

2 5 ist Nullstelle

Fundamentalsatz der Algebra von GAUSS:

Jedes Polynom n-ten Grades (n  N) hat mindestens 1 Nullstelle in C.

 Jedes Polynom n-ten Grades hat genau n Nullstellen in C.

4 reelle Nullstellen Polynom min. (!) 4. Grades

Zerfällen von algebraischen Gleichungen

mit dem Satz von VIETA für Gleichungen höheren Grades

P_4(x) = a₄ x⁴ + a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + a₀ = a₄ (x - x₁) (x - x₂) (x - x₃) (x - x₄)

L =

Beweis:

geg: Polynom n-ten Grades P_n(x) = 1 xⁿ + a_n-1 x^n-1 + a_n-2 x^n-2 + + a₁ x + a₀ = 0

Voraussetzung: a_n = 1                       Koeffizient der höchsten Potenz = 1

Nullstellen ermitteln Polynom wird algebraische Gleichung

Annahme: x₁ Lösung von P_n(x)

P_n(x1) = 1 x₁ⁿ + a_n-1 x₁^n-1 + a_n-2 x₁^n-2 + + a₁ x₁ + a₀ = 0

P_n(x) - P_n(x1) = (xⁿ - x₁ⁿ) + a_n-1 (x^n-1 - x₁^n-1) + a_n-2 (x^n-2 - x₁^n-2) + + a₁ (x - x₁) = 0

= (x - x₁) [x^n-1 + b_n-2 x^n-2 + + b₁ x + b₀] = 0 Polynom (n-1)-ten Grades

Annahme: x₂ Lösung

= (x - x₁) (x - x₂) [x^n-2 + c_n-3 x^n-3 + + c₁ x + c₀] = 0 Polynom (n-2)-ten Grades

T  n Lösungen: x₁; x₂; ; x_n

(x - x₁) (x - x₂) (x - x₃) (x - x_n) = 0

P_n(x) = xⁿ + a_n-1 x^n-1 + + a₁ x + a₀ = (x - x₁) (x - x₂) (x - x_n)

P_n(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 + + a₁ x + a₀ = a_n (x - x₁) (x - x₂) (x - x_n)

Satz von VIETA für Gleichungen höheren Grades,

wobei x₁; x₂; x₃; Nullstellen (Lösungen) von P_n(x) sind.

es gilt:

-a_n-1 = x₁ + x₂ + x_n

+a_n-2 = x₁ x₂ + x₁ x₃ + + x₁ x_n + x₂ x_n + x_n-1 x_n

-a_n-3 = x₁ x₂ x₃ + + x_n-2 x_n-1 x_n

(-1)ⁿ a₀ = x₁ x₂ x_n

Beispiel:

geg.: x⁴ + 2x³ - 13x² - 14x + 24 = 0 G = C

x₁ = 1

x₂ = -2

x⁴ + 2x³ - 13x² - 14x + 24 = (x - x₁) (x - x₂) (x - x₃) (x - x₄)

x⁴ + 2x³ - 13x² - 14x + 24 _{= (x - x3) (x - x4)}

(x - 1) (x + 2)

(x⁴ + 2x³ - 13x² - 14x + 24) : (x² + x - 2) = x² + x - 12                       es muss 0 Rest herauskommen

-x⁴ - x³ + 2x²

x³ - 11x² - 14x

-x³ - x² + 2x

-12x² - 12x + 24

+ 12x² + 12x - 24

0 R

x² + x - 12 = 0

x₃₄ = - ½ (¼ + 12] = -½ () = -½

x₃ = 3

x₄ = -4

L =

Gleichungen höheren Grades

( 3) G = C

Reziproke Gleichungen (Symmetrische Gleichungen)

Eine Gleichung heißt reziprok, wenn zu jeder Lösung  auch Lösung dieser Gleichung ist.

Jede reziproke Gleichung muss auch symmetrisch oder antisymmetrisch sein.

a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + a₀ = 0

symmetrisch: a₃ = a₀

a₂ = a₁

antisymmetrisch: a₃ = -a₀

a₂ = -a₁

Beispiel:

2x³ - 3x² - 3x + 2 = 0 G = C

(2x³ + 2) - (3x² + 3x) = 0

2 (x³ + 1) - 3x (x + 1) = 0

2 (x + 1) (x² - x + 1) - 3x (x + 1) = 0

(x + 1) [2 (x² - x + 1) - 3x] = 0

(x + 1) (2x² - 5x + 2) = 0

x1 = -1 2x² - 5x + 2 = 0

L = Lösungen sind reziprok

Reziproke Gleichungen ungeraden Grades haben entweder +1 oder -1 als Lösung.

Beispiel:

2x³ - 3x² + 3x - 2 = 0 G = C

(2x³ - 2) - (3x² - 3x) = 0

2 (x³ - 1) - 3x (x - 1) = 0

2 (x - 1) (x² + x + 1) - 3x (x - 1) = 0

(x - 1) [2 (x² + x + 1) - 3x] = 0

(x - 1) (2x² - x + 2) = 0

x1 = -1 2x² - x + 2 = 0

L = G = C

L = G = R

Substitution

Beispiel:

2x⁴ + 5x³ + 4x² + 5x + 2 = 0 | :x² 0 G = C

2x² + 5x + 4 + + = 0

(2x² + ) + (5x + ) + 4 = 0

2 (x² + ) + 5 (x + ) + 4 = 0

x + = u | ² Substitution

x² + 2 + = u²

x² + = u² - 2

2 (u² - 2) + 5u + 4 = 0

2u² + 5u = 0

u (2u + 5) = 0

u₁ = 0 u₂ = -

x + = 0 | x x + = - | x

x² + 1 = 0 x² + x + 1 = 0

x² = -1 |

x₁₂ = i

x₁ = i x₃ = -½

x₂ = -i x₄ = -2

L =

Beispiel:

a₄ x⁴ + a₂ x² + a₀ = 0 G = C

a₄  0; a₃ = 0; a₁ = 0

x² = u Substitution

a₄ u² + a₂ u + a₀ = 0

Herausheben

a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x = 0

a₀ = 0

x (a₃ x² + a₂ x + a₁) = 0

Allgemeine Gleichungen 4. Grades mit HORNER

x⁴ + a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + a₀ = 0 G = C

a₄ = 1

Wenn es ganzzahlige Lösungen gibt,

so kann es sich nur um ein Zahl aus der Teilermenge T_a0 handeln.

a₄ x⁴ + a₃ x³ + a₂ x² + a₁ x + a₀ = 0 G = C

a₄  1

Wenn es rationale Lösungen gibt, müssen sie Kombinationen aus sein.

Beispiel:

x⁴ - 6x³ + 14x² - 16x + 8 = 0 G = C

T₈ =

x₁ = 2

(x⁴ - 6x³ + 14x² - 16x + 8) : (x - 2) = x³ - 4x² + 6x - 4

-x⁴ + 2x³

-4x³ + 14x²

4x³ - 8x²

6x² - 16x

-6x² + 12x

-4x + 8

4x - 8

0 R

x³ - 4x² + 6x - 4 = 0

T₄ =

x₂ = 2

(x³ - 4x² + 6x - 4) : (x - 2) = x² - 2x + 2

-x³ + 2x²

-2x² + 6x

2x² - 4x

2x - 4

-2x + 4

0 R

x² - 2x + 2 = 0

x₃₄ = 1 (1 - 2) = 1 (-1) = 1 i

x₃ = 1 + i

x₄ = 1 - i

L =

Beispiel:

2x⁴ + x³ - 9x² + 16x - 6 = 0 G = C

T =

x₁ = -3

(2x⁴ + x³ - 9x² + 16x - 6) : (x + 3) = 2x³ - 5x² + 6x - 2

-2x⁴ - 6x³

-5x³ - 9x²

5x³+15x²

6x² + 16x

-6x² - 18x

-2x - 6

2x + 6

0 R

2x³ - 5x² + 6x - 2 = 0

T =

x₂ = ½

(2x³ - 5x² + 6x - 2) : (x - ½) = 2x² - 4x + 4

-2x³ + x²

-4x² + 6x

4x² - 2x

4x - 2

-4x + 2

0 R

2x² - 4x + 4 = 0 | :2

x² - 2x + 2 = 0

x₃₄ = 1 (1 - 2) = 1 (-1) = 1 i

x₃ = 1 + i

x₄ = 1 - i

L =

CARDANische Formel

Geronimo CARDANO (1501 - 1576)

(Formel entdeckt von Niccolo TARTAGLIA, veröffentlicht von CARDANO)

geg.: x³ - rx² + sx + t = 0

durch Substitution x = y -  y³ + py + q = 0

Lösung x₁ = y₁ -

dann durch (x - x₁) dividieren

Allgemeine Gleichungen ab 5. Grades

Jede Gleichungen höheren Grades (>4) ist allgemein NICHT lösbar (nur in Spezialfällen).

bewiesen von Emile GALOIS ~1830

Funktionen

Stetigkeit

Definition1:

Eine Funktion y = f_(x) heißt an der Stelle a stetig,

wenn  > 0 (gelegt um f_(a))  > 0 (gelegt um a),

sodass  x  U(a,)  |f_(a) - f_(x)| < .

Definition2:

Eine Funktion y = f_(x) heißt an der Stelle a stetig,

wenn der linksseitige Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert Funktionswert ist.

lim f_(x) = lim f_(x) = f_(a)

x = a-0 x = a+0

Eine stetige Kurve muß eine zusammenhängende Kurve sein.

Funktionen mit Sprungstellen sind nicht stetig!

Zwischenwertsatz:

Ist f eine in einem abgeschlossenem Intervall [a; b] stetige Funktion, und gilt f_(a) f_(b),

so nimmt die Funktion jeden Wert zwischen f_(a) und f_(b) mindestens 1x an.

Nullstellensatz:

Haben f_(a) und f_(b) verschiedene Vorzeichen, so besitzt f in ]a; b[ mindestens 1 Nullstelle.

Pole:

Punkte, wo die Kurve nicht definiert ist.

nicht stetig!

z.B.: Asymptoten

Tangentenproblem

geg.:           stetige Kurve y = f_(x) keine Sprungstellen

ges.:           Anstieg der Tangente in T (x₀|y₀) an die Kurve f_(x)

Konstruieren einer Sekantenfolge:

<s₁ (P₁; T); s₂ (P₂; T); s₃ (P₃; T); >

Grenzwert der Sekantenfolge = Tangente t in T (x₀|y₀)

P₁ (x₁|y₁) annehmen Anstieg von s₁ (P₁; T) = = tan ₁

P₂ (x₂|y₂) annehmen Anstieg von s₂ (P₂; T) = = tan ₂

P_n (x_n|y_n)             Anstieg von s_n (P_n; T) = = tan _n

lim = k_t Anstieg der Tangente im Punkt T (x₀|y₀)

n 

x_n x₀ = n 

Folge <x_n> (x_n x₀) wählen:

<x_n> = <>

Beispiel:

geg.: par: y = x²

ges:: Anstieg im Punkt T (1|y) an Kurve

T in par: T (1|1)

Folge <x_n> (x_n x₀ = 1) = <>

lim <> = 1

n 

y = x²

y_n = x_n² = ()²

t: y = kx + d

y = 2x + d

T einsetzen: 1 = 2 + d

d = -1

t im Punkt T:        y = 2x - 1

Differentialrechnung

= Infinitesimalrechnung

Unabhängig von einander erarbeiteten

Isaac NEWTON (1643 - 1727) (GB) mit Hilfe der Momentangeschwindigkeit

und

Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 - 1716) (D) mit Hilfe des Tangentenproblems

gleichzeitig die Differentialrechnung.

Aufgabe der Differentialrechnung:

Bestimmung des Anstiegs einer Kurve (=Anstieg der Tangente) in einem beliebigen Kurvenpunkt

Differenzenquotient - Differentialquotient

geg.: y = f_(x) stetig

P (x|y) I f

Q (x + x|y + y) I f

ges.: t in P

Sekantenfolge <s₁; s₂; s₃; >

lim s_n = t

n 

Unter der Tangente in P versteht man die Grenzlage der Sekanten, wenn Q sich P nähert.

Unter dem Anstieg der Kurve in P versteht man den Anstieg der Tangente in P.

Q  f_(x) y + y = f_{(x + x)}

y = f_{(x + x)} - y

y = f_{(x + x)} - f_(x)

Steigung der Sekante s1: tan b  =

=

_{Differenzenquotient}

_{Anstieg der Sekante}

Q ® P Dx 0

lim tan  = tan 

x 0

[dy nach dx]

lim tan  = y' =  f'_(x) = lim = lim =

x 0 x 0 x 0

_{Differentialquotient}

_{1. Ableitung der Kurve}

_{Anstieg der Tangente}

Beispiel:

geg.: par.: y = x² Q  par

y + y = (x + x)²

y + y = x² + 2x x + x²

y = x² - y + 2x x + x² x² - y = 0

y = x (2x + x)

Steigung einer Sekante: k_s1 = = = 2x + x

Steigung der Tangente:                     k_t = lim = lim (2x + x) = 2x

x 0 x 0

bei (1|1) k_t = 2

bei x = -1,5 (-1,25|2,25) k_t = -3

mit Hilfe der Differentialrechung:

geg.: f: y = x²

ges.: Anstieg der Kurve

                               f': y' = 2x

[Beweis siehe Nr12, Ableitung einer Potenz, S36]

12) Ableitung einfacher Funktionen

Konstante Funktionen

y = c

y' = 0

y´ = lim = lim = lim = 0

x 0x 0x 0

Ableitung einer Potenz

y = xⁿ n I R

y' = n  x^n-1

Eine Potenz wird differenziert,

indem man den Potenzexponenten mit der um einen Grad verringerten Potenz multipliziert.

Beweis

Konstanter Faktor

geg.: y = a  f_(x) = g_(x) a I R konstanter Faktor

y' = lim = lim = a f'_(x)

x 0 x 0

y' = a  f'_(x)

Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten.

Ableitung einer Summe bzw Differenz

Addition:

y = u_(x) + v_(x) = f_(x)

y' = u'_(x) + v'_(x)

Voraussetzungen:

u'_(x) = lim

x 0

v'_(x) = lim

x 0

Beweis

y' = lim = lim + =

x 0 x 0

= lim + lim = u'_(x) + v'_(x)

x 0 x 0

Subtraktion:

y = u_(x) - v_(x) = f_(x)

y' = u'_(x) - v'_(x)

Die Ableitung einer Summe (Differenz) = Summe (Differenz) der Ableitungen

Produktregel

y = u_(x)  v_(x) = f_(x)

y' = u'_(x)  v_(x) + u_(x)  v'_(x)

Voraussetzungen:

u'_(x) = lim

x 0

v'_(x) = lim

x 0

Beweis

y' = lim = lim =

x 0 x 0

Trick: Addieren und Subtrahieren des Ausdrucks u_(x)  v_{(x + Dx)} im Nenner

= lim =

x 0

= lim v_(x) + u_(x) =

x 0

= lim v_(x) + lim u_(x) =

x 0 x 0

= v_(x)  u'_(x) + u_(x)  v'_(x) = u'_(x)  v_(x) + u_(x)  v'_(x)

(f₁ f₂ f₃)' = f₁' f₂ f₃ + f₁ f₂' f₃ + f₁ f₂ f₃'

Quotientenregel

y = = f_(x)

Voraussetzungen:

u'_(x) = lim

x 0

v'_(x) = lim

x 0

Beweis

= f_(x) |  v_(x)

u_(x) = f_(x)  v_(x)

u'_(x) =  f'_(x)  v_(x) + f_(x)  v'_(x) | - f_(x)  v'_(x)

u'_(x) - f_(x)  v'_(x) =  f'_(x)  v_(x) | : v_(x)

Spezialfälle:

y = y' = -

y = y' = - y'' = 2/x³ y''' = - 6/x⁴ y^(IV) = 24/x⁵

Kettenregel

y = h_(x) = f_(g(x)) = f_(z) wobei h = f _° g [Verknüpfung]

y' =  f'_(z)  g'_(x)

Ableitung der Kettenregel:

geg.: y = h_(x) = f_(g(x)) = f_(z)

Voraussetzungen:

$  f'_(z) = lim

z 0

g'_(x) = lim

x 0

Beweis

g_(x) = z

g_{(x + Dx)} = z + Dz

Dz = g_{(x + Dx)} - z

Dz = g_{(x + Dx)} - g_(x)

Dx 0 Dz 0

y' = lim = lim =

x 0 x 0

= lim  = lim  =

x 0 erweitern x 0 vertauschen der Nenner

z 0

= lim  = lim  lim =

x 0 x 0) x 0

z 0 z 0 (z 0)

äußere Funktion  innere Funktion

=  f'_(z)  g'_(x)

Die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion ist gleich

dem Produkt aus der Ableitung der äußeren Funktion und der Ableitung der inneren Funktion.

Beweis der Ableitung einer negativen Potenz (mit Hilfe der Kettenregel):

y = x ^{- m} = m I R

y' = m  x ^{m - 1}

Beispiel:

y = (x² + 3x + 1)³

y' = 3 (x² + 3x + 1)² (2x + 3)

                                     f'_(z) g'_(x)

Höhere Ableitungen einer Funktion

Ist die Ableitung f' einer differenzierbaren Funktion f wieder differenzierbar,

so bezeichnet man (f')' = f'' als 2. Ableitung von f.

(f)' = f'

(f')' = f''

(f'')' = f'''

(f''')' = f^(IV)

allgemein:

(f^(n-1))' = fⁿ

Implizites Differenzieren

y nach Kettenregel !

Beispiel 250d, Buch 7.Klasse:

2x + y = 3

y = 3 - 2x

y = 9 - 12x + 4x² | nach x differenzieren!

y' = 8x - 12 explizit

2x + y = 3

2 + ½y^-½  y' = 0 |  2

4 +  y' = 0

y' = -4y implizit

Probe:

y' = -4y

y' = -4(3 - 2x) siehe oben

y' = 8x - 12

warum?

y² + y³ = x | '

2yy' + 3y²y' = 1

y' (2y + 3y²) = 1

y' = nur implizit differenzierbar!

13) Bilde die 1. Ableitung von

geg.:

14) Sätze der Differntialrechnung

Stetigkeit und Zwischenwertsatz:

[siehe Nr10, Stetigkeit, S31]

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Ist f in [a;b] stetig und im offenen Intervall ]a;b[ differnziebar,

so besitzt f in ]a;b[ mindesten 1 Stelle mit  mit f'_() =

[Xi]

Satz von ROLLE

Ist f in [a;b] stetig und im offenen Intervall ]a;b[ differenzierbar,

und gilt f_(a) = f_(b),

so besitzt f in ]a;b[ mindestens 1 Stelle  mit f'_(g) = 0

T   es gibt in ]a;b[ mindestens 1 zur x-Achse || Tangente!

Satz von ROLLE ist Spezialfall des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung

Kurvenduiskussion

Ermittlung von Eigenschaften einer Funktion, bevor man die Kurve zeichnet

geg.: y = f_(x)

1) Definitionsmenge, Unstetigkeitsfälle (Lücken, Knicke, Sprünge) D_f

2) Nullstellen, Fixwerte N, F

3) Asymptoten a

4) Extremwerte (Hochpunkte, Tiefpunkte) E (H, T)

5) Wendepunkte W

6) Wendetangenten t_W

7) Monotonie, Krümmung

8) Symmetrieeigenschaften

9) Wertetabelle, Graph

ad 3)

Grenzwerte und Asymptoten

Grenzwerte:

Beispiele:

lim (x² + x + 3) = lim (x² + x + 3)] = 9 = 3

x 2 x 2 Zahl

lim (-2x² + 25x) = lim (-2x²) (1 - ) = - 

x  x 

lim = Zahl T     Asymptote

lim =  T     Polynom hat KEINE Asymptote

Asymptoten:

1) || y-Achse

2) y-Achse

Berechnung von Asymptoten:

Beispiel:

f: y = D = R rationale Funktion

1) || y-A

D T     a₁: x = 2

a₂: x = -2

2) y-A

Beispiel:

f: y = D = R

1) || y-A

D T     a₁: x = -1

2) y-A

ad 4)

Bestimmung der Extremwerte

y' = 0 setzen T   E

Lokale und absolute Extremwerte:

Lokaler Extremwert: beliebiger Extremwert T₁

Absoluter Extremwert: am tiefsten/höchsten gelegener Extremwert T₂

[Skizze siehe Nr15, S42]

Geometrische Bedeutung der 2. Ableitung:

Krümmung der Kurve

ad 5), 6)

Wendepunkte und Wendetangenten

W(a|f_(a)) heißt Wendepunkt, wenn der Graph von f im Punkt W sein Krümmungsverhalten ändert.

Die Wendetangente durchsetzt die Kurve.

f''_(a) = 0

f'''_(a)  0

Spezialfall:

y' = 0 und y'' = 0 T   S Sattelpunkt

[Skizze siehe Nr15, S42]

y'' = 0 setzen T   W

Wendetangente t_W: y = kx +d

k_tW = f'_(xW)

d W in t_W einsetzen

Bedeutung mehrfacher Werte

N⁽²⁾ = E

N⁽³⁾ = E⁽²⁾ = W

Beim Differenzieren wird die Vielfachheit eines Punktes um 1 reduziert.

Monotonie, Krümmung

Monotonie:

wichtig: y' H T S a || y-A

beliebigen Wert im angegebenen Intervall einsetzen:

y' > 0  streng monoton steigend/wachsend str.m.w.

y' < 0  streng monoton fallend str.m.f.

H und T wechseln einander ab

wachsend und fallend müssen einander nicht abwechseln!

(S, a || y-A)

Krümmung:

wichtig: y'' W S

beliebigen Wert im angegebenen Intervall einsetzen:

y'' < 0  negativ gekrümmt; Tangente verläuft oberhalb von f

y'' = 0  Tangente durchsetzt f (W, t_W)

y'' > 0  positiv gekrümmt; Tangente verläuft unterhalb von f

Beispiel 423, Buch 7.Klasse

Der Graph der Funktion f: R R, y = ax³ + bx² + cx + d hat in 0(0|0) die Steigung 3 und in T(6|0) den Tiefpunkt. Der Graph der Funktion g: R R, y = px² + qx + r hat seinen Scheitelpunkt S_g an der Stelle 3 und schneidet den Graphen von f in 0 rechtwinkelig. Diskutiere beide Funktionen und fertige eine Zeichnung an!

f:      y = ax³ + bx² + cx + d

y' = 3ax² + 2bx + c

g: y = px² + qx + r

y' = 2px + q

Kurvendiskussion:

9) Graph

16Diskuttiere

geg.: f: y =

y = x³/[(x-1)²]

y' =

y'' =

1) D

(x - 1)² = 0 |

x - 1 = 0

x = 1

D_f = R

N, F

= 0 | (x-1)²

x³ = 0

x = 0⁽³⁾

N(0|0)⁽³⁾ E⁽²⁾ W

= x | x  0 x₁ = 0 F₁(0|0) = N

x² = (x-1)²

x² = x² - 2x + 1

2x = 1

x₂ = ½ F₂(½|½)

3) a

|| y-A: a₁: x = 1

y-A: lim

_x

Polinomdivision: x³ : (x² - 2x +1) = x + 2

x³-2x² + x

2x² - x

2x²-4x+2

3x-2 R

lim = lim [(x + 2) ] = lim (2 + x) a₂: y = 2 + x

_{x x x}

4) E

y' = 0

= 0 | (x-1)³

x³ - 3x² = 0

x²(x - 3) = 0

x₁₂ = 0⁽²⁾

x₃ = 3

y''₍₀₎ = 0 S(0|0)⁽²⁾ = N = F₁

y''₍₃₎ = ⁹/₈ > 0 T(3|²⁷/₄) = (3|6¾)

5) W

y'' = 0

= 0 | (x-1)⁴

6x = 0

x = 0 W(0|0) = S = N = F₁

6) t_W

t_W: y = kx + d

y'₍₀₎ = 0

y = d

W: y = 0

t_W: y = 0

7) Monotonie

Krümmung

8) Symmetrieeigenschaften

9) Graph

Extremwertaufgaben

= OPTIMIERUNGSAUFGABEN

= MAXIMA - MINIMA BEISPIELE

Einem gleichschenkeligen Dreieck mit der Grundlinie a und der Höhe h soll ein Rechteck, welches den größten Flächeninhalt besitzt, eingeschrieben werden.

geg.: (a,h)

ges.: (x,y) mit _maxA

(h - 2y) = 0 |

h - 2y = 0

2y = h

y =

x =

A =

f''_(y) =  (-2)

f''₍₎ =  (-2) < 0  Maximum

Das gesuchte Rechteck hat die Länge x = und die Breite y = mit der Maximalfläche A = .

Extremwertaufgaben

Welches von allen Rechtecken mit gegebener Diagonale d hat die größte Fläche.

geg.: d

ges.: mit _maxA

2d²x - 4x³ = 0 | :2

d²x - 2x³ = 0

x(d² - 2x²) = 0

x₁ = 0 (Randextremum) d² - 2x² = 0

2x² = d²

x² =

x₂ =

y₁ = d y₂ = d² -

y₂ =

A =  = ()³

f''_(x) = 2d² - 12x²

f''₍₎ = 2d² - 12 = 2d² - 6d² = -4d² < 0  Maximum

Das gesuchte Rechteck hat die Länge x = und die Breite y =

mit der Maximalfläche A = .

Extremwertaufgaben

Von einem quadratischen Blech mit der Seitenlänge a werden an den Ecken Quadrate ausgeschnitten. Aus dem Rest des Bleches wird eine Schachtel gebildet. Wie muss die Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate gewählt werden, damit das Volumen der Schachtel maximal wird?

geg.: (a)

ges.: (x) damit _maxV

HB

V = (a - 2x)²  x

f_(x) = (a - 2x)²  x

f'_(x) = 2(a - 2x)²  (-2)  x + (a - 2x)²  1

2(a - 2x)²  (-2)  x + (a - 2x)² = 0

(-4x + a - 2x) (a - 2x) = 0

(-6x + a) (a - 2x) = 0

x₁ = x₂ = (Randextremum)

V = (a - 2)² 

V =

f''_(x) = (-6)(a - 2x) + (-6x + a)(-2) = -6a + 12x +12x - 2a = -8a +24x

f''₍₎ = -8a + 4a = -4a < 0  Maximum

Die gesuchte Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate ist x = .

Die Schachtel hat das Maximalvolumen V = .

Drehkegel Stumpf

Ableitung der Winkelfunktionen

A_0AB < A_0CB < A_BCD

< < | :2

sin   cos  <  < | :(sin  0) 1. Quadrant  positiv

cos  < <

lim cos   lim  lim

1  lim  1

reziprok lim = 1 *

y = sin x

y = sin x = f_(x)

y' = cos x

y' = cos x

y = cos x

y = cos x = sin ( - x)

y' = - sin x

y' = cos( - x)  (-1) = (-1)  sin x

y' = -sin x

y = tan x

y = tan x =

y' = 1 + tan²x =

y' =

y' = 1 + tan² x =

y = cot x

y = cot x =

y' = -1 - cot² x = -

y' =

y' = -1 - cot² x = -

Beweise der Tangentenformeln

Tangentenformel für Ellipse in 1. Hauptlage

[siehe Nr1, Tangentengleichung und Polarengleichung, S5]

geg.: ell: b²x² + a²y² = a²b² *

T(x₁|y₁)

ges.: t: y = kx + d

Tangentengleichung: b²xx₁ + a²yy₁ = a²b²

b²x² + a²y² = a²b² | ' Implizites Differenzieren [siehe Nr12, Implizites Differenzieren, S40]

2b²x + 2a²yy' = 0

2a²yy' = -2b²x | : 2a²y

y' = - allgemeiner Anstieg einer Ellipse

T: y'_(x1|y1): y' = - = k_t

t: y = -x + d

mit T: y₁ = -x₁ + d

d = y₁ +

d = = *

d =

t: y = -x + |  a²y₁

a²y₁y = -b²x₁x + a²b²

b²xx₁ + a²yy₁ = a²b² wzbw

Tangentenformel für Hyperbel in 1. Hauptlage

[siehe Nr2, Tangentengleichung und Polarengleichung, S8]

geg.: hyp: b²x² - a²y² = a²b² *

T(x₁|y₁)

ges.: t: y = kx + d

Tangentengleichung: b²xx₁ - a²yy₁ = a²b²

b²x² - a²y² = a²b² | ' Implizites Differenzieren [siehe Nr12, Implizites Differenzieren, S40]

2b²x - 2a²yy' = 0

2a²yy' = 2b²x | : 2a²y

y' = allgemeiner Anstieg einer Hyperbel

T: y'_(x1|y1): y' = = k_t

t: y = x + d

mit T: y₁ = x₁ + d

d = y₁ -

d = = (-1) = - *

d = -

t: y = x - |  a²y₁

a²y₁y = b²x₁x - a²b²

b²xx₁ - a²yy₁ = a²b² wzbw

Tangentenformel für Parabel in 1. Hauptlage

[siehe Nr3, Tangentengleichung und Polarengleichung, S11]

geg.: par: y² = 2px *

T(x₁|y₁)

ges.: t: y = kx + d

Tangentengleichung: yy₁ = p(x + x₁)

y² = 2px | ' Implizites Differenzieren [siehe Nr12, Implizites Differenzieren, S40]

2yy' = 2p

y' = allgemeiner Anstieg einer Parabel

T: y'_(x1|y1): y' = = k_t

t: y = x + d

mit T: y₁ = x₁ + d

d = y₁ - x₁

d = = *

d =

t: y = x +  |  y₁

y₁y = px + px₁

yy₁ = p(x + x₁) wzbw

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