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Impulskenngrößen
Impuls
Impulsfolge
Elementare Impulsfunktionen
Sprungfunktion
Stoßfunktion
Rampenfunktion
Impulsfunktionen im Zeit- und Frequenzbereich
Fourierentwicklung periodischer Impulsfunktionen
Rechteckschwingung
Sägezahnschwingung
Pulsfolge
Fourierentwicklung nichtperiodischer Impulsfunktionen
Diracfunktion
Sprungfunktion
Rechteckimpuls
SI - Impuls
Gaußimpuls
Endliche Anzahl vom Impulsen
Korrespondenzen der Fouriertransformation
Impulskenngrößen
Nach DIN 5488 versteht man unter einem elektrischen Impuls einen Vorgang mit beliebigen zeitlichen Verlauf einer physikalischen Größe, deren Augenblickswert innerhalb einer begrenzten Zeitspanne Werte aufweist, die von null verschieden sind. Anhand von Einzelimpulsen werden folgende Kenngrößen eingeführt
Bei einem idealen Rechteckimpuls ist die Impulsdauer ti gleich der Zeit von positiver zu negativer Flanke (siehe Abb.1.1.a). Bei einem verformten Impuls hingegen muß eine besondere Festlegung getroffen werden. In diesem Fall ist die Impulsdauer ti, unabhängig von Übergangszeiten der ansteigenden und abfallenden Flanke, als Zeit vom Beginn der ansteigenden Flanke (10% des Endwertes) bis zum Beginn der abfallenden Flanke (90% des Endwertes) festgelegt (siehe Abb.1.1.b). Nach dieser Definition ist die Impulsdauer solange von den Übergangszeiten unabhängig, wie die Übergangszeit für die ansteigende Flanke kleiner oder höchstens gleich ti ist.
Die Zeit, die die ansteigende Flanke eines Impulses benötigt, um von 10% auf 90% des Endwertes anzusteigen, ist die Anstiegszeit tr oder rise-time (siehe Abb.1.1.b). Die 10%- und 90% - Werte werden gewählt, weil die Übergänge zwischen Impulssohle IS bzw. dem Impulsdach ID und der Flanke abgerundet sind. Bei den 10%- und 90% - Punkten erhält man definierte Schnittpunkte, während sich bei 0% und 100% des Endwertes die Schnittpunkte nicht genau bestimmen lassen.
Die Zeit, die die abfallende Flanke eines Impulses benötigt, um von 90% auf 10% des Endwertes abzufallen, ist die Abfallzeit tf (fall-time) (Abb.1.1.b).
Die Tangente im Wendepunkt an die Impulsflanke legt die Ausgleichszeit tg durch die Schnittpunkte mit der Impulssohle und dem Impulsdach fest.
Unter einer Impulsfolge versteht man einen unendlich lang andauernden, periodischen Vorgang, der aus einer Folge von gleichen Impulsen besteht. Die Periodizität der Einzelimpulse innerhalb der Impulsfolge wird mit der Periodendauer T0 als Impulsabstand und n als beliebige ganze Zahl durch f(t) = f(t+nT0) beschrieben. Die Kenngrößen einer Impulsfolge sind aus Abb.1.2 ersichtlich.
Man erkennt, daß die Impulsdauer ti und die Impulspause tp in Summe die Periodendauer T0 ergibt.
Die Impulsfolgefrequenz f0 einer periodischen Impulsfolge ist gleich dem Kehrwert der Periodendauer T0.
Der Tastgrad g ist definiert als das Verhältnis von ti zu T0. g = ti/T0
Die Sprungfunktion s(t) ist definiert als 
mit der Stufenhöhe A. Die Normierung auf A führt zur Einheitssprungfunktion s(t), die definiert ist als
Die Einheitssprungfunktion ist eine mathematische Funktion ohne physikalische Einheit. Dadurch ist offengelassen, ob der zu beschreibende Vorgang z.B. einen Strom, eine Spannung oder eine mechanische Auslenkung bedeutet. Die Funktion s(t) hat den Funktionswert null für negative Zeiten, springt zum Zeitpunkt t=0 von 0 auf 1 mit unendlich großer Flankensteilheit (Unstetigkeitsstelle) und behält diesen Wert für alle positiven Zeiten bei. Die Einheitssprungfunktion wird auch Schaltfunktion genannt, da z.B. das Schließen eines Schalters in einem offenen Gleichstromkreis ohne Energiespeicher einen Spannungssprung im geschlossenen Stromkreis von null auf den Endwert U0 an den Verbraucherklemmen bewirkt. Der zeitliche Verlauf ist daher durch u(t) = U0s(t) gegeben, wobei s(t) die Schließhandlung beschreibt.
Findet ein Einheitssprung nicht zum Zeitpunkt t=0 sondern zu einem beliebigen Zeitpunkt t0 statt, so geht die zugehörige Einheitssprungfunktion s(t) durch Verschiebung längs der Zeitachse in s(t-t0) über. Diese um t0 verschobene Einheitssprungfunktion hat die Werte
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Die Erzeugung eines einmaligen idealen Rechteckimpulses (ohne Überschwingen und mit unendlich großer Flankensteilheit) kann durch lineare Überlagerung zweier verschobener Sprungfunktionen erklärt werden. Durch die Addition eines positiv gerichteten Sprunges zur Zeit t0 und eines negativ gerichteten Sprunges zur Zeit t0+ti ein idealer Rechteckimpuls der Dauer ti. Die Verwendung der elementaren Sprungfunktion s(t-t0) ist nicht auf die Beschreibung einmaliger Rechteckimpulse beschränkt, sondern dient auch zur Berechnung allgemeiner rechteckförmiger Vorgänge, vor allem in der Digitaltechnik.
Die Stoßfunktion d(t) kann aus einem idealen Rechteckimpuls abgleitet werden (Abb. 2.4). Der Rechteckimpuls habe die Amplitude U01 und die Impulsdauer ti. Verringert man nun die Impulsdauer ti und fordert dabei, daß die Fläche U0iti konstant bleibt, so nimmt die Impulsamplitude U01 zu, bei abnehmender Impulsdauer ti. Die Grenzbetrachtung ti 0 führt schließlich zu einer unendlich großen Amplitude. Damit nimmt die Stoßfunktion d(t) für ti=0 zum Zeitpunkt t=0 den Wert an und ist für alle anderen Zeiten null. Sie kann daher definiert werden als
Eine ideale Stoßfunktion kann physikalisch nicht realisiert werden. Für experimentelle Untersuchungen beschränkt man sich auf einen Impuls endlicher Höhe und Impulsdauer. Die Impulsdauer muß dabei nur so kurz sein, daß die zugehörige Spektralfunktion den interessierenden Frequenzbereich ausreichend überdeckt.
Die auf den Wert der Impulsfläche bezogene Stoßfunktion wird Einheitsstoß oder Diracfunktion genannt. Die wird im folgenden mit d(t) bezeichnet und hat die Funktionswerte
Die Diracfunktion kann als Grenzwert 
beschrieben werden
und stellt damit die Ableitung der Einheitssprungfunktion s(t)
dar.
Die Funktion d(t) kann ebenfalls längs der Zeitachse verschoben werden. Es gilt
Die Diracfunktion ist ein wertvolles Hilfsmittel zur Beschreibung von Abtastverfahren. Multipliziert man z.B. eine Zeitfunktion f(t) mit der verschobenen Diracfunktion d(t-t0), so ist das Produkt der beiden f(t) d(t-t0) zu allen Zeiten null, außer zum Zeitpunkt t0. Die Impulsfläche des Produkts nimmt dabei den Wert der Funktion f(t0) an der Stelle t0, also den Abtastwert, an.
Das Zeitintegral der Einheitssprungfunktion s(t) führt zur Rampenfunktion r(t) die auch als Keilfunktion oder Anstiegsfunktion bezeichnet wird.
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Impulsfunktionen können nach verschiedenen Kriterien klassifiziert werden. Wertkontinuierlich sind Impulsfunktionen, deren Funktionswerte alle Werte eines Kontinuums innerhalb eines vorgegebenen Intervalls annehmen können, wohingegen für wertdiskrete Impulsfunktionen nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte existieren. Zeitkontinuierlich sind Funktionen, deren Signalwerte innerhalb eines Intervalls alle Werte eines Kontinuums annehmen kann. Die Signalwerte von zeitdiskreten Funktionen sind nur zu bestimmten Zeitpunkten über eine Folge von Zeitintervallen definiert. Weiters unterscheidet man die Impulsfunktionen zwischen periodisch und nicht periodisch. Im folgenden werden zeitlich kontinuierliche Impulsfunktionen untersucht.
Besondere Bedeutung hat die von Fourier begründete Funktionentheorie, nach der sich periodische Funktionen in unendliche trigonometrische Reihen entwickeln lassen. Wiederholt sich ein zeitkontinuierlicher Vorgang f(t) unbeschränkt mit der Periode T0 = 1/f0 = 2p/w0, so gilt, daß dieser Vorgang aus einer Summe von sinus- und cosinusförmigen Teilschwingungen zusammengesetzt werden kann. Die Frequenzen dieser Teilschwingungen sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz f0, wobei das Verhältnis von Teil- zu Grundschwingungsfrequenz die Ordnungszahl n der Teilschwingung darstellt. Eine Funktion ist periodisch, wenn f(t+nT0) = f(t) gilt. Sie kann durch eine reelle Reihenentwicklung mit der Kreisfrequenz w0 und den Fourierkoeffizienten an und bn, sowie dem Gleichspannungsanteil a0 beschrieben werden. Aus an gehen die geraden Funktionsanteile heraus, aus bn die Ungeraden.
Ebenso kann die Reihe durch den komplexen Fourierkoeffizienten cn berechnet werden, ebenso wie der neu eingeführte Fourierkoeffizient aus der Zeitfunktion f(t).
Diese Zuordnung zwischen Zeitfunktion f(t) und den Fourierkoeffizienten cn läßt also auch aus einem vorgegebenen Linienspektrum die zugehörige Zeitfunktion berechnen. Dabei gilt T0w0 = 2p. Weiters gibt es noch weitere nützliche Zusammenhänge zwischen Zeit- und Frequenzbereich, die das Rechnen mit der Fourierreihe vereinfachen
Verschiebungssatz
Der Verschiebungssatz beschreibt die Auswirkung einer zeitlichen bzw. spektralen Verschiebung einer Funktion f bzw. eines Linienspektrums auf cn. Es gelten für eine Verschiebung im Zeitbereich um t0 (links) und für eine Verschiebung im Frequenzbereich um Df (rechts):
Differentiation
Eine Hilfe bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten cn einer periodischen Funktion f(t) ist der Differentiationssatz.
Integration
Ein entsprechender Zusammenhang existiert für die Integration im Zeitbereich
Um den Zusammenhang zwischen Zeit- und Spektralbereich deutlich zu machen, zeigt Abb. 3.1 die Gegenüberstellung von Zeit- und Frequenzfunktion für eine einfache Sinusschwingung. Der Funktion f(t)=sin(w0t) entspricht eine diskrete Linie an der Stelle w0.
Die additive Überlagerung der berechneten Teilschwingungen als Fourier-Synthese stellt eine Näherung einer periodischen Funktion f(t) durch ein trigonometrisches Polynom dar. Diese Näherung wird um so genauer, je mehr Glieder bei der Berechnung berücksichtigt werden. Für die praktische Anwendung kann eine Fourierreihe meist schon nach wenigen Gliedern abgebrochen werden.
Wenn positive und negative Halbwellen einer periodischen Zeitfunktion f(t) jeweils gleiche Flächen einschließen, wird der lineare Mittelwert (Gleichanteil) a0=0.
Gilt für eine vorgegebene Zeitfunktion f(t) = f(-t), so sind alle Fourierkoeffizienten bn=0. Es treten daher nur Cosinusglieder in der Fourierreihe auf.
Gilt für eine vorgegebene Zeitfunktion f(t) = -f(-t), so sind alle Fourierkoeffizienten an=0, es treten nur Sinusglieder in der Fourierreihe auf.
Gilt für eine vorgegebene Zeitfunktion f(t) = -f(t+T0/2) , so liegt eine alternierende Zeitfunktion vor. Es verschwinden für alle geraden Ordnungszahlen n die Koeffizienten an und bn, womit nur ungerade Fourierkoeffizienten auftreten.
Für Fourieranalysen für periodische Impulsfunktionen erweist es sich daher als Erleichterung des Rechenvorganges, das Koordinatensystem so zu wählen, daß entweder alle an oder alle bn verschwinden. Als nächstes werden vier Beispiele für die Fourieranalyse von periodischen Impulsfunktionen angeführt.
Die Rechteckschwingung dient nun als Beispiel für die Fourierentwicklung. Es werden die einzelnen Schritte der Reihenentwicklung angeführt. In den darauffolgenden Beispielen sollen nur die Ergebnisse angeführt werden.
Die Rechteckfunktion ist definiert durch:
mit n = 0, 1, 2,
.
Nun setzt man die Funktion f(t) in die Formel für cn
ein 
und erhält damit
Der Faktor [1-(-1)n] ist für alle geradzahligen
Ordnungszahlen n = 2,
4,
. null. Für alle ungeradzahligen nimmt der Klammerausdruck den Wert 2 an. Da
und an=0
ist für alle geradzahligen Werte von n 0 ergibt sich
für n = 1, 3, 5,
.
Der Gleichanteil wird demnach
Aus der Formel erhält man die reelle
Fourierreihe
Nun kann die Spektralliniendarstellung gezeichnet werden,
indem man die einzelnen Frequenzanteile der Fourierreihe mit den jeweiligen
Beträgen 
über die Frequenz
aufträgt.
Eine Sägezahnschwingung ist definiert durch
und liefert den komplexen Fourierkoeffizienten
Man erhält die Fourierreihe
Sie ist gegeben durch die Funktion
Es ergibt sich der komplexe Fourierkoeffizient
mit si(x)=sin(x)/x und g=ti/T0
Da die betrachtete Pulsfolge f(t) in unserem eine gerade Funktion darstellt, fallen alle bn weg und wir erhalten für die Fourierreihe
Das Linienspektrum wird für einen Tastgrad g von 0,25 gezeigt. Eine Diskussion des Linienspektrums in Abhängigkeit der Impulsdauer ti und der Impulsfolgefrequenz f0 ist an dieser Stelle sinnvoll, da grundsätzliche Zusammenhänge zwischen Impulsdauer, Impulsfolgefrequenz und Bandbreitenbedarf erkennbar werden.
Den Verlauf der Hüllkurve yH(f) wird bestimmt, indem man vom diskreten Vielfachen der Frequenz nf0 auf eine kontinuierliche Frequenz f übergeht. Es ergibt sich für die Hüllkurve
Für die Berechnung der Nullstellen mit der Nullstellenfrequenz fn, muß yH null gesetzt werden.
Die erste Nullstelle 
bzw. 
liegt demnach bei pfn1ti
= p
bzw. fn1 = 1/ti. Man erkennt, daß für das vorliegende
Linienspektrum der Hauptanteil der Energie zwischen den beiden ersten
Nullstellen fn1 liegt. Der Bandbreitenbedarf wird also näherungsweise
durch den Kehrwert 1/ti bestimmt. Das bedeutet, daß je kleiner die
Impulsdauer ti
ist, desto größer ist der Bandbreitenbedarf durch die Pulsfolge f(t) und desto
weiter rücken die Nullstellen auseinander. Weiters geht eine Variation von ti
in die Amplitudenverhältnisse über den Tastgrad g ein. Eine Vergrößerung der
Impulsfolgefrequenz f0 = 1/T0 führt zu einem
Zusammenrücken benachbarter Spektrallinien und zur Verringerung der
Einzelamplituden.
Ebenso wie periodische Impulsfolgen lassen sich auch nichtperiodische Impulsfunktionen mit einer Überlagerung von Sinus- und Cosinusschwingungen beschreiben. Um dies zu veranschaulichen, wird zunächst von einer periodischen Pulsfolge f(t) ausgegangen. Die periodische Pulsfolge läßt sich in einen einmaligen Impuls überführen, indem man die Periodendauer T0 gegen unendlich gehen läßt. Man erkennt, daß die einzelnen Impulse mit wachsender Periodendauer weiter auseinanderrücken. Im Grenzfall T0 entsteht ein einmaliger Impuls, der auf die Impulsdauer ti zeitlich begrenzt ist.
Es ist nun zu analysieren, was beim Grenzübergang T0 mit der spektralen Darstellung geschieht. Man erkennt, daß sich der Frequenzabstand Df benachbarter Spektrallinien umgekehrt proportional zur Periodendauer T0 verhält.
Betrachtet man den Fourierkoeffizienten 
bei einer bestimmten
Frequenz f = nDf
= nf0 = const., so ergibt sich, daß der Wert des Integrals
konstant bleibt. Dies gilt, da im Exponenten das Produkt nf0
nach Voraussetzung gleich bleibt. Außerdem ist für den einmaligen Impuls
vorausgesetzt worden, daß die Funktion f(t) außerhalb der Impulsdauer ti
verschwindet, so daß eine Vergrößerung der Grenzen des Integrals (T0
)
den Wert des Integrals nicht mehr verändert. Geht man damit von einem
konstanten Wert des Integrals bei einer vorgegebenen Frequenz für T0
aus, so folgt, daß das Produkt 
ebenfalls konstant
sein muß. Daher muß der Fourierkoeffizient bei Vergrößerung von T0
kleiner werden und dichter aufeinander folgen. Daher sind beim Grenzübergang T0
nicht die Fourierkoeffizienten allein, sondern ihre auf die Frequenz bezogene
spektrale Dichte (/Df)
bzw. (T0) zu betrachten. Als Grenzwert stellt sich ein
endlicher Wert
ein. Somit an die Stelle der diskreten Linien eine kontinuierliche
Spektralfunktion 
. Es entsteht das erste Fouriersche Integral.
Erweitert man mit dem Spektrallinienabstand Df, so erhält man
Setzt man in die obige Formel
ein, so erhält man das zweite Fouriersche Integral
wobei Df durch df und die Summe durch ein Integral ersetzt wurden.
Die beiden Integrale stellen den Zusammenhang zwischen
Zeitfunktion f(t) und ihrer Spektralfunktion her. Mit dem ersten
Fourierschen Integral kann man eine Funktion f(t), auch wenn sie nur stückweise
stetig ist, d.h. endlich viele Sprungstellen aufweist, und im Wertevorrat
beschränkt ist, analytisch darstellen. Das zweite Fouriersche Integral liefert
den Übergang von der Spektral- zur Zeitfunktion. Meistens wird eine
Schreibweise verwendet, die sich auf die Kreisfrequenz w bezieht. Dann lauten die
Transformationsgleichungen
Diese beiden Gleichungen können auch als Abbildung einer
Funktion im Zeitbereich in den Frequenzbereich und umgekehrt aufgefaßt werden.
Man nennt dies Fouriertransformation. Zur Kennzeichnung der
Fouriertransformation wird das Symbol 
eingeführt, indem
definiert wird
bzw. als inverse Transformation
Als hinreichende Bedingung für die Existenz des Fourierintegrals gilt, daß das Integral
einen endlichen Wert haben muß. Daher muß die
Betragsfunktion 
im unendlichen
verschwinden, andernfalls divergiert das Integral nach obiger Gleichung.
Ein Gleichanteil f(t)=1 im Zeitbereich für - t korrespondiert mir der Diracfunktion 2pd(w) im Frequenzbereich
1 2pd(w)
Dieser Gleichanteil kann z.B. eine Gleichspannung oder ein Gleichstrom sein. Die Frequenz dieses physikalischen Vorganges ist null. Die Fouriertransformation folgt dem Dualitätsprinzip: Korrespondenzen zwischen dem Zeit- und dem Frequenzbereich sind umkehrbar. So korrespondiert dual ein Gleichanteil F(w)=1, d.h. konstantes kontinuierliches Spektrum (alle Frequenzen sind enthalten), im Frequenzbereich mit einer Diracfunktion d8t) im Zeitbereich
d(t) 1
Die Berechnung der Fouriertransformierten der Sprungfunktion
F
erweist sich als schwierig, da die hinreichende Bedingung für die Existenz des
Fourierintegrals nicht erfüllt ist. Das Integral hat keinen endlichen
Wert, da s(t)
= 1 für 0
t
ist. Daher wird zunächst die Signumfunktion eingeführt
In diesem Zusammenhang wird die Funktion sgn(t) betrachtet. Für die Fouriertransformierte F gilt die Korrespondenz sgn(t) 2/(jw), die durch die Rücktransformation aus dem Frequenz- in den Zeitbereich bewiesen werden kann. Die Rücktransformierte von F = 2/(jw) führt also wieder auf die Signumfunktion sgn(t), womit die Korrespondenz gilt.
Durch Multiplikation der Signumfunktion mit 0,5 (=Halbierung der Endwerte von 1 und -1 auf 0,5 und
-0,5) und einer Addition mit 0,5 (=Verschiebung der Funktion) geht die Signumfunktion sgn(t) in die Sprungfunktion s(t) über
Die Gleichung besteht nun aus einem geraden Funktionsanteil fR,g = 0,5 und einem ungeraden Teil fR,u = (1/2)sgn(t), die getrennt voneinander transformiert werden können.
Damit korrespondiert die Sprungfunktion s(t) mit einem komplexen Amplitudendichtespektrum
Ein idealer Rechteckimpuls ist gegeben durch die Impulsfunktion
Die zugehörige Spektralfunktion ist
Es wird eine Impulsfunktion betrachtet, deren zeitlicher Verlauf durch die si - Funktion mit der Kreisfunktion w0 = 2pf0 gegeben als:
Dann gilt die Korrespondenz
Sie Zerlegung der Exponentialfunktion e-jwt in Real- und Imaginärteil führt auf
Der Imaginärteil fällt weg, da der Integrand eine ungerade Funktion ist. Da der Realteil eine gerade Funktion ist, können die Integrationsrenzen aus Symmetriegünden auch anders gewählt werden
Es wird
Mit Hilfe der frequenzverschobenen Sprungfunktion kann 
auch geschrieben werden
als
Als Impulsfunktion f(t) wird der Gaußimpuls betrachtet. Er ist gegeben durch
Gegenüber dem Cosinusimpuls zeichnet sich der Gaußimpuls
durch eine unendlich breiten Impulsfuß aus, obwohl der Funktionswert für große
Werte von 
rasch gegen null
strebt. Die Fouriertransformierte berechnet sich aus:
Die Spektralfunktion eines Gaußimpulses ist wieder eine Gaußfunktion. Zeit- und Frequenzfunktion haben also, bis auf eine Maßstabsänderung, die gleiche Form. Man nennt solche Funktion bezüglich der Fouriertransformation selbstreziprok.
Eine endliche Anzahl von Impulsen soll entsprechend aus N gleichen Einzelimpulsen, die alle um die Zeit T zueinander verschoben sind, zusammengesetzt werden. Hinsichtlich der Einzelimpulse wird vorausgesetzt, daß sie sich nicht überlappen sollen und daß jeder Einzelimpuls zeitlich begrenzt sein soll. (d.h. endliche Impulsdauer ti).
Bezeichnet man die Impulsfunktion des Einzelimpulses mit f1(t) und die Gesamtimpulsfunktion, bestehend aus N gleichen Impulsen, dann ist f(t):
Mit Hilfe des Einzelimpulses ergibt sich für den i-ten
Impuls, mit 
als
Fouriertransformierte des Einzelimpulses.
Für N Impulse erhält man dann
bzw.
Die Spektralfunktion der endlichen Anzahl
von Impulsen kann als Produkt aus der Spektralfunktion des Einzelimpulses und dem Faktor 
aufgefaßt werden, der
die endliche Wiederholung der Einzelimpulse zum Ausdruck bringt. stellt eine endliche
geometrische Reihe mit dem Konstanten Quotienten e-jwT
dar. Die Summe dieser geometrischen Reihe ist
Damit
wird
bzw.
als
Fouriertransformierte des Einzelimpulses stellt die Einhüllende von dar.
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